(2,0 điểm)

Bạn An đi mua một cây lăn sơn có dạng khối trụ với bán kính đáy là \(5cm\) và chiều cao là \(23cm\). Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn \(1000\) vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Hỏi bạn An cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn tường biết diện tích tường cần sơn là \(3100\,c{m^2}\) (cho \(\pi \approx 3,14\)).

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\widehat {ECF} = {90^o}\) (kề bù với \(\widehat {ACB}\)) và \(\widehat {EDF} = {90^o}\) (kề bù với \(\widehat {ADB}\))

Suy ra \(\Delta ECF\)vuông tại \(C\) và \(\Delta EDF\)vuông tại \(D\)

Suy ra \(\Delta ECF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF\)và \(\Delta EDF\)nội tiếp đường tròn đường kính \(EF\)

Hay ba điểm \(E,C,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EF\)và ba điểm \(E,D,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(EF\).

Suy ra bốn điểm \(E,C,F,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(EF\).

Hay tứ giác \(ECFD\) nội tiếp.

b) + Xét tam giác \(FCB\)và tam giác \(FDA\)có : \(\widehat {FCB} = \widehat {FDA} = {90^o}\), \[\widehat {AFB}\]chung

Suy ra $\Delta FCB\backsim \Delta FDA\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{FC}{FD}=\frac{FB}{FA}\Rightarrow FC.FA=FB.FD$

+ Xét tam giác \(FCE\)vuông tại \(C\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EF\) (gt)

Nên \(IF = IC = IE = \frac{1}{2}EF\)

Þ \(\Delta FIC\)cân tại \(I\)Þ \(\widehat {ICF} = \widehat {IFC}\)

+ Vì tứ giác \(ECFD\) nội tiếp nên \(\widehat {CFE} = \widehat {CDE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))

Hay \(\widehat {CFI} = \widehat {CDA} = \widehat {ICF}\)

Mà \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CA\) trong đường tròn \(\left( O \right)\))

Suy ra \(\widehat {ICF} = \widehat {CBA}\) hay \(\widehat {ICF} = \widehat {CBO}\)

Mà \(\widehat {CBO} = \widehat {BCO}\) (vì \(OC = OB = R\) nên \(\Delta OCB\) cân tại \(O\))

Nên \(\widehat {ICF} = \widehat {BCO}\)

Mà \(\widehat {ICF} + \widehat {ICB} = \widehat {FCB} = {90^o}\)

Nên \(\widehat {BCO} + \widehat {ICB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ICO} = {90^o}\) hay \(IC \bot CO\)mà \(CO = R\)

Nên \(IC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

c) + Chứng minh tương tự có \(ID\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) Þ \(\widehat {IDO} = {90^o}\)

+ Xét tứ giác \(ICOD\) có \(\widehat {ICO} = \widehat {COD} = \widehat {IDO} = {90^o}\) nên \(ICOD\)là hình chữ nhật

Mà \(OC = OD = R\) nên \(ICOD\)là hình vuông \( \Rightarrow CI = CO\)

+ Xét tam giác \(ICO\) vuông cân tại \(C\) có \(I{O^2} = C{I^2} + C{O^2} \Rightarrow I{O^2} = 2{R^2} \Rightarrow IO = R\sqrt 2 \)

+ Gọi \(M\)là điểm trên cung \(AB\) (không chứa điểm \(C\)) sao cho \(OM \bot AB\)

Ta có \(E\) là giao điểm của hai đường cao \(BC,\,AD\) trong tam giác \(FAB\) nên E là trực tâm của tam giác \(FAB\). Suy ra \(IE \bot AB\)

Suy ra \(OM//IE\)

Mà \(IE = IC = CO = R\) hay \(OM = IE = R\)

Nên tứ giác \(OIEM\) là hình bình hành.

Suy ra \(ME = OI = R\sqrt 2 \)

Vậy khi điểm \(C\) thay đổi thoả mãn điều kiện bài toán thì điểm \(E\) di chuyển trên một đường tròn cố định là đường tròn \(\left( {M,R\sqrt 2 } \right)\).