(1,5 điểm)

Một cuộc điều tra về thời gian một nhóm học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm cho kết quả như sau

Thời gian (phút)	\(\left[ {0;5} \right)\)	\(\left[ {5;10} \right)\)	\(\left[ {10;15} \right)\)	\(\left[ {15;20} \right)\)
Tần số	\(1\)	\(5\)	\(9\)	\(5\)

Cho biết có bao nhiêu học sinh tham gia điều tra và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho kết quả điều tra trên.

Đặt \(AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên \(AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó \(BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Tứ giác \(BMHN\) có \(\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BMHN\) là hình chữ nhật.

Do đó \(HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) là phân giác \(\widehat {BAC}\), \(CA\) là phân giác \(\widehat {BCD}\)

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ \)

Do đó \(\Delta MAH\) vuông cân tại \(M\) và \(\Delta NHC\) vuông cân tại \(N\)

Suy ra \(MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \[{S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)\]\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]\)\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50\)\( = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]\)

Vì \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75\)

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}\)

\({S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}\) khi \(x = 5\)

Hay \(AM = 5{\rm{ m}}\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại \(H\) nên \(AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}}  = \sqrt {{5^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}\)

Vậy điểm \(H\) nằm trên \(AC\) cách \(A\) một đoạn bằng \(5\sqrt 2 {\rm{ m}}\) thì diện tích phần trồng hoa \(DMN\) là nhỏ nhất và bằng \(\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích xung quanh của cây lăn sơn là \(2\pi Rh = 2\pi .5.23 = 230\pi  \approx 722,2\left( {c{m^2}} \right)\)

Với diện tích tường cần sơn là \(3100\,c{m^2}\) thì cây lăn sơn đã lăn khoảng: \(3100:722,2 = 4,29\)(vòng)

Mà sau khi lăn \(1000\) vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Vậy bạn An cần mua ít nhất một cây lăn sơn tường