(0,5 điểm) Trên một khu vườn hình vuông \(ABCD\) có diện tích là \(100\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), người ta xác định phần diện tích trồng hoa như sau: Lấy một điểm \(H\) trên đường chéo \(AC\), dựng hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(BC\) lần lượt là \(M\) và \(N\). Phần diện tích trong hoa là tam giác \(DMN\). Hỏi điểm \(H\) nằm vị trí nào trên \(AC\) thì diện tích trồng hoa sẽ là nhỏ nhất. Và diện tích đó bằng bao nhiêu?

Đặt \(AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên \(AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó \(BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Tứ giác \(BMHN\) có \(\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BMHN\) là hình chữ nhật.

Do đó \(HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) là phân giác \(\widehat {BAC}\), \(CA\) là phân giác \(\widehat {BCD}\)

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ \)

Do đó \(\Delta MAH\) vuông cân tại \(M\) và \(\Delta NHC\) vuông cân tại \(N\)

Suy ra \(MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \[{S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)\]\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]\)\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50\)\( = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]\)

Vì \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75\)

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}\)

\({S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}\) khi \(x = 5\)

Hay \(AM = 5{\rm{ m}}\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại \(H\) nên \(AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}}  = \sqrt {{5^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}\)

Vậy điểm \(H\) nằm trên \(AC\) cách \(A\) một đoạn bằng \(5\sqrt 2 {\rm{ m}}\) thì diện tích phần trồng hoa \(DMN\) là nhỏ nhất và bằng \(\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).