Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Lai Châu có đáp án

a) \(A = \left( {\frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\)

\(\)\( = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x  - 1 + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \left[ {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right]:\frac{{2\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\,x \ne 1\).

b) \(A \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x \sqrt {2023}  + \sqrt {2023}  - \sqrt x  - \sqrt x .\sqrt {2023} }}{{\sqrt x .\sqrt {2023} }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {2023}  - \sqrt x  \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2023\)

Kết hợp điều kiện \(x > 0;\,x \ne 1\) ta có \(2022\) giá trị thỏa mãn điều kiện

a) \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22 \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y + 3} \right) - 5\left( {x - y + 3} \right) = 7\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 3} \right)\left( {2x + y - 5} \right) = 7\end{array}\)

Khi đó ta có các khả năng sau:

KN1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 =  - 7\\2x + y - 5 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 8\end{array} \right.\)

KN2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 =  - 1\\2x + y - 5 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 2\end{array} \right.\)

KN3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 7\\2x + y - 5 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)

KN4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 1\\2x + y - 5 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;8} \right);\left( { - 2;2} \right)} \right\}\)

b) ta có \(a + b + c = 3 \Leftrightarrow 9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + ac + bc} \right) \Leftrightarrow ab + ac + bc \le 3\)

ta có \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} \le \frac{{bc}}{{\left( {{a^2} + ab + ac + bc} \right)}} = \frac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\)

tương tự ta có : \(\frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}}} \right)\);\(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right)\)

cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\)

mà \(a + b + c = 3\) nên \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)

dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(a = b = c = 1\)

Vậy \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)