a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22\)
b) Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22\)
b) Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22 \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y + 3} \right) - 5\left( {x - y + 3} \right) = 7\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 3} \right)\left( {2x + y - 5} \right) = 7\end{array}\)
Khi đó ta có các khả năng sau:
KN1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = - 7\\2x + y - 5 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 8\end{array} \right.\)
KN2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = - 1\\2x + y - 5 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 2\end{array} \right.\)
KN3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 7\\2x + y - 5 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)
KN4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 1\\2x + y - 5 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;8} \right);\left( { - 2;2} \right)} \right\}\)
b) ta có \(a + b + c = 3 \Leftrightarrow 9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + ac + bc} \right) \Leftrightarrow ab + ac + bc \le 3\)
ta có \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} \le \frac{{bc}}{{\left( {{a^2} + ab + ac + bc} \right)}} = \frac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\)
tương tự ta có : \(\frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}}} \right)\);\(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right)\)
cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\)
mà \(a + b + c = 3\) nên \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(a = b = c = 1\)
Vậy \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left( {x - y + 1} \right)\left( {2x - y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( * \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\]
Giải \(\left( * \right)\)\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\2{y^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Giải \(\left( {**} \right)\) \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 7x - 6 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \(\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)
b) Xét phương trình hoành độ tương giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^2} = - x + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - m - 1 = 0\,\left( * \right)\)
để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 1 + 4\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 5}}{4}\)
Ta có \({x_1}^2 - {x_2} - 4m + 1 = 0\left( 1 \right)\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) suy ra \({x_1}^2 = - {x_1} + m + 1\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - {x_1} + m + 1 - {x_2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3m + 2 = 0\)
Theo viet ta có: \({x_1} + {x_2} = - 1 \Rightarrow m = 1\)( nhận)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)
ta có: \(FE \bot BC\) tại \(E\) nên \(\widehat {FEB} = \widehat {FEC} = 90^\circ \)
xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) mà hai góc đối nhau nên \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp
b) Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FDC} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) mà hai đỉnh kề nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Hay \(\widehat {ABF} = \widehat {FCD}\) (1)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABEF\) có \[\widehat {ABF} = \widehat {AEF}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có \[\widehat {FCD} = \widehat {FED}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)
Từ (1); (2) và (3) ta có \[\widehat {FED} = \widehat {AEF}\] nên \(FE\) là tia phân giác của \(\widehat {AED}\)
Xét tam giác \(AEH\) có \[{\rm{EF;EC}}\] là đường phân giác trong và ngoài của tam giác nên \[\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AE}}{{EH}};\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{AE}}{{EH}}\]
Suy ra \(\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AC}}{{CH}} \Leftrightarrow AF.CH = FH.AC\)
c) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FGC} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(CG \bot FI\)
Xét tam giác \[IFC\] có \(FD;CG\) là hai đường cao mà \(FD\) cắt \(CG\) tại \(K\) suy ra \(K\) là trực tâm
Suy ra \(IK \bot FC\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FDA} = \widehat {FCG}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Mà \(\widehat {FDA} = \widehat {BCA}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Do đó \(\widehat {BCA} = \widehat {FCG}\) hay \(\widehat {FCE} = \widehat {FCG}\)
Xét \(\Delta FEC\) và \(\Delta FGC\) có \(\widehat {FCE} = \widehat {FCG}\) và \(\widehat {FEC} = \widehat {FGC} = 90^\circ \)
Suy ra do đó
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có
Suy ra \(\widehat {GFC} = \widehat {EDC}\) hay \(\widehat {IFH} = \widehat {HDC}\)
Xét tứ giác \(FHDI\) có \(\widehat {IFH} = \widehat {HDC}\) mà góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện nên \(FHDI\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(\widehat {FHI} = \widehat {FDI} = 90^\circ \Rightarrow IH \bot FC\)
Suy ra \(K;I;H\) thẳng hàng
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập