Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\), vẽ \(FE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEF\). Đường thẳng \(BF\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\), \(DE\) cắt \(AC\) tại \(H\).

a) Chứng minh rằng: \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: \(FH.CA = CH.FA\)

c) Đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(G\), \(FG\) cắt \(CD\) tại \(I\), \(CG\) cắt \(FD\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(K,I,H\) thẳng hàng.

Gọi d là đường thẳng trong \(2025\) đường thẳng thỏa mãn đề bài

Giả sử d cắt \(AD;BC\) lần lượt tại \(P;Q\) và cắt \(EG\) tại \(I\)

\(E;F;G;H\) là trung điểm các cạnh như hình

Mà \({S_{DCQP}} = 2{S_{ABQP}} \Rightarrow \left( {DP + QC} \right) = 2\left( {AP + BQ} \right) \Leftrightarrow GI = 2IE \Leftrightarrow GI = \frac{2}{3}GE\) suy ra \(I\) cố định

Khi đó ta có \(2025 = 4.506 + 1\) các đường thẳng thỏa mãn đề bài phải đi qua 4 điểm cố định khi đó theo nguyên lý Dirichlet thì có \(506 + 1 = 507\) đường thẳng đi qua một điểm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left( {x - y + 1} \right)\left( {2x - y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( * \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\]

Giải \(\left( * \right)\)\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\2{y^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Giải \(\left( {**} \right)\) \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 7x - 6 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \(\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)

b)  Xét phương trình hoành độ tương giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^2} =  - x + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - m - 1 = 0\,\left( * \right)\)

để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 1 + 4\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 5}}{4}\)

Ta có \({x_1}^2 - {x_2} - 4m + 1 = 0\left( 1 \right)\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) suy ra \({x_1}^2 =  - {x_1} + m + 1\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - {x_1} + m + 1 - {x_2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow  - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3m + 2 = 0\)

Theo viet ta có: \({x_1} + {x_2} =  - 1 \Rightarrow m = 1\)( nhận)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.