Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\), vẽ \(FE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEF\). Đường thẳng \(BF\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\), \(DE\) cắt \(AC\) tại \(H\).
a) Chứng minh rằng: \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: \(FH.CA = CH.FA\)
c) Đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(G\), \(FG\) cắt \(CD\) tại \(I\), \(CG\) cắt \(FD\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(K,I,H\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\), vẽ \(FE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEF\). Đường thẳng \(BF\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\), \(DE\) cắt \(AC\) tại \(H\).
a) Chứng minh rằng: \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: \(FH.CA = CH.FA\)
c) Đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(G\), \(FG\) cắt \(CD\) tại \(I\), \(CG\) cắt \(FD\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(K,I,H\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)
ta có: \(FE \bot BC\) tại \(E\) nên \(\widehat {FEB} = \widehat {FEC} = 90^\circ \)
xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) mà hai góc đối nhau nên \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp
b) Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FDC} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) mà hai đỉnh kề nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Hay \(\widehat {ABF} = \widehat {FCD}\) (1)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABEF\) có \[\widehat {ABF} = \widehat {AEF}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có \[\widehat {FCD} = \widehat {FED}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)
Từ (1); (2) và (3) ta có \[\widehat {FED} = \widehat {AEF}\] nên \(FE\) là tia phân giác của \(\widehat {AED}\)
Xét tam giác \(AEH\) có \[{\rm{EF;EC}}\] là đường phân giác trong và ngoài của tam giác nên \[\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AE}}{{EH}};\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{AE}}{{EH}}\]
Suy ra \(\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AC}}{{CH}} \Leftrightarrow AF.CH = FH.AC\)
c) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FGC} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(CG \bot FI\)
Xét tam giác \[IFC\] có \(FD;CG\) là hai đường cao mà \(FD\) cắt \(CG\) tại \(K\) suy ra \(K\) là trực tâm
Suy ra \(IK \bot FC\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {FDA} = \widehat {FCG}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Mà \(\widehat {FDA} = \widehat {BCA}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Do đó \(\widehat {BCA} = \widehat {FCG}\) hay \(\widehat {FCE} = \widehat {FCG}\)
Xét \(\Delta FEC\) và \(\Delta FGC\) có \(\widehat {FCE} = \widehat {FCG}\) và \(\widehat {FEC} = \widehat {FGC} = 90^\circ \)
Suy ra do đó
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\) có
Suy ra \(\widehat {GFC} = \widehat {EDC}\) hay \(\widehat {IFH} = \widehat {HDC}\)
Xét tứ giác \(FHDI\) có \(\widehat {IFH} = \widehat {HDC}\) mà góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện nên \(FHDI\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(\widehat {FHI} = \widehat {FDI} = 90^\circ \Rightarrow IH \bot FC\)
Suy ra \(K;I;H\) thẳng hàng
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22 \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y + 3} \right) - 5\left( {x - y + 3} \right) = 7\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 3} \right)\left( {2x + y - 5} \right) = 7\end{array}\)
Khi đó ta có các khả năng sau:
KN1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = - 7\\2x + y - 5 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 8\end{array} \right.\)
KN2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = - 1\\2x + y - 5 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 2\end{array} \right.\)
KN3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 7\\2x + y - 5 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)
KN4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 1\\2x + y - 5 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;8} \right);\left( { - 2;2} \right)} \right\}\)
b) ta có \(a + b + c = 3 \Leftrightarrow 9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + ac + bc} \right) \Leftrightarrow ab + ac + bc \le 3\)
ta có \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} \le \frac{{bc}}{{\left( {{a^2} + ab + ac + bc} \right)}} = \frac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\)
tương tự ta có : \(\frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}}} \right)\);\(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right)\)
cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\)
mà \(a + b + c = 3\) nên \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(a = b = c = 1\)
Vậy \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left( {x - y + 1} \right)\left( {2x - y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\\left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( * \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\]
Giải \(\left( * \right)\)\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\2{y^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Giải \(\left( {**} \right)\) \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 7x - 6 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \(\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)
b) Xét phương trình hoành độ tương giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^2} = - x + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - m - 1 = 0\,\left( * \right)\)
để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 1 + 4\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 5}}{4}\)
Ta có \({x_1}^2 - {x_2} - 4m + 1 = 0\left( 1 \right)\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) suy ra \({x_1}^2 = - {x_1} + m + 1\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - {x_1} + m + 1 - {x_2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3m + 2 = 0\)
Theo viet ta có: \({x_1} + {x_2} = - 1 \Rightarrow m = 1\)( nhận)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập