Cho hình vuông \(ABCD\) và \(2025\) đường thẳng, biết mỗi đường thẳng thỏa mãn hai điều kiện:

i) Luôn cắt hai cạnh đối diện và không đi qua đỉnh nào của hình vuông.

ii) Chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích bằng \(\frac{1}{2}\).

Chứng minh rằng trong \(2025\) đường thẳng đó có ít nhất \(507\) đường thẳng cùng đi qua một điểm

a) \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22 \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y + 3} \right) - 5\left( {x - y + 3} \right) = 7\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 3} \right)\left( {2x + y - 5} \right) = 7\end{array}\)

Khi đó ta có các khả năng sau:

KN1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 =  - 7\\2x + y - 5 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 8\end{array} \right.\)

KN2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 =  - 1\\2x + y - 5 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 2\end{array} \right.\)

KN3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 7\\2x + y - 5 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)

KN4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 1\\2x + y - 5 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\left( l \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;8} \right);\left( { - 2;2} \right)} \right\}\)

b) ta có \(a + b + c = 3 \Leftrightarrow 9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + ac + bc} \right) \Leftrightarrow ab + ac + bc \le 3\)

ta có \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} \le \frac{{bc}}{{\left( {{a^2} + ab + ac + bc} \right)}} = \frac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\)

tương tự ta có : \(\frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}}} \right)\);\(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right)\)

cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ab}}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\)

mà \(a + b + c = 3\) nên \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)

dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(a = b = c = 1\)

Vậy \(\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} + \frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)