Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Hà Nội 2024 - 2025 (Đề 11)

1) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A,\) ta có: \({\rm{\;}}A = \frac{{16}}{{\sqrt {16} - 3}} = \frac{{16}}{{4 - 3}} = 16.\)

Vậy giá trị của \(A = 16\) khi \(x = 16.\)

2) Với \(x > 0,\,\,x \ne 9,\) ta có:

\(B = \frac{{2x - 3}}{{x - 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 3 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{2x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}.\)

Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 9\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}.\)

3) Với \(x > 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(A - B = \frac{x}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 3}}.\)

Để \(A - B < 0\) thì \(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 3}} < 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0.\)

Do đó từ \(\left( * \right)\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x - 1 \ne 0}\\{\sqrt x - 3 < 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x \ne 1}\\{\sqrt x < 3}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{x < 9.}\end{array}} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(0 < x < 9,\,\,x \ne 1.\)

Vậy \(0 < x < 9,\,\,x \ne 1\) thì \(A - B < 0.\)

1) Gọi số xe tải loại lớn mà đội vận chuyển sử dụng là \(x\) (xe) \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)

Số xe tải loại nhỏ mà đội cần sử dụng theo kế hoạch là \(x + 2\) (xe).

Mỗi xe tải loại lớn vận chuyển được là \(\frac{{15}}{x}\) (tấn).

Mỗi xe tải loại nhỏ theo kế hoạch vận chuyển được là \(\frac{{15}}{{x + 2}}\) (tấn).

Theo bài, mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn mỗi xe tải loại nhỏ 2 tấn nên ta có phương trình:

\(\frac{{15}}{x} - \frac{{15}}{{x + 2}} = 2\)

\(15\left( {x + 2} \right) - 15x = 2x\left( {x + 2} \right)\)

\(15x + 30 - 15x = 2{x^2} + 4x\)

\(2{x^2} + 4x - 30 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x = - 5.\)

Ta thấy chỉ có giá trị \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy xe tải loại lớn mà đội vận chuyển cần dùng là \(3\) xe.

2) Diện tích xung quanh của bình đựng nước là:

\({S_4} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4 \cdot 25 = 200\pi \approx 628{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Vậy diện tích xung quanh của bình đựng nước khoảng \(628{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)

1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Điều kiện \(x \ge - \frac{1}{3}.\)

Nhân hai vế của phương trình \(\left( 2 \right)\) với \(2,\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{6\sqrt {3x + 1} - 2y = 10.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(7\sqrt {3x + 1} = 14,\) suy ra \(\sqrt {3x + 1} = 2\) nên \(3x + 1 = 4,\) do đó \(x = 1\) (thỏa mãn \(x \ge - \frac{1}{3}).\)

Thay \(\sqrt {3x + 1} = 2\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(2 + 2y = 4,\) do đó \(y = 1.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \[\left( {1;\,\,1} \right).\]

2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 5\) hay \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 5 = 0\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} = \left[ { - {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \right] - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 5} \right)\)\( = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \[\left( d \right)\] luôn cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m - 2}\\{{x_1}{x_2} = - 5.}\end{array}} \right.\]

Theo bài, \({x_1} + 5{x_2} = 0\) nên suy ra \({x_1} = - 5{x_2}.\)

Kết hợp với \[{x_1}{x_2} = - 5,\] ta được: \( - 5{x_2} \cdot {x_2} = - 5,\) hay \(x_2^2 = 1,\) nên \({x_2} = 1\) hoặc \({x_2} = - 1.\)

Trường hợp 1. \({x_2} = 1,\) suy ra \({x_1} = - 5,\) kết hợp với \[{x_1} + {x_2} = m - 2,\] ta được:

\( - 5 + 1 = m - 2,\) do đó \(m = - 2.\)

Trường hợp 2. \({x_2} = - 1,\) suy ra \({x_1} = 5,\) kết hợp với \[{x_1} + {x_2} = m - 2,\] ta được:

\(5 + \left( { - 1} \right) = m - 2,\) do đó \(m = 6.\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2;6} \right\}\) là giá trị cần tìm.

Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy = 4\left[ {3 - \left( {x + y} \right)} \right]{\rm{ }}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 4\left( {x + y} \right) - 12 \ge 0\)

\(\left( {x + y + 6} \right)\left( {x + y - 2} \right) \ge 0\)

Mà \(x,\,\,y\) là các số dương nên \(x + y + 6 > 0.\) Do đó \(x + y \ge 2.\)

Từ đó \(P = \frac{3}{{x + y}} + x + y - 3 = \frac{4}{{x + y}} + \left( {x + y} \right) - \frac{1}{{x + y}} - 3\)

\[\mathop  \ge \limits^{{\rm{B\ST Cauchy}}} \]\[2\sqrt {\frac{4}{{x + y}} \cdot \left( {x + y} \right)}  - \frac{1}{{x + y}} - 3 = 1 - \frac{1}{{x + y}}\]

\( \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = y = 1.\)