Giải phương trình $x-3\sqrt{x}=4$.

Đặt $t=\sqrt{x}\left(x\ge 0,t\ge 0\right)$ phương trình trở thành $t^2-3t-4=0$.

Ta có $1-\left(-3\right)-4=0$ nên phương trình có hai nghiệm $t_1=-1$ (loại), $t_2=4$ (nhận).

Với $t=4\Rightarrow \sqrt{x}=4\iff x=16$.

Tập nghiệm phương trình là S = {16}.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ 2x+3y=8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ 2x+3y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-3y=-3\\ 2x+3y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x=5\\ 2x+3y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ 3y=8-2.1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Tập nghiệm hệ phương trình là $S=\left\{\left(1;2\right)\right\}$.

1) Vẽ đồ thị của hàm số y = -0,5x²

2) $\left(d_1\right):y=ax+b$ vuông góc với $\left(d\right):y=-0,5x+2$ nên có $a.\left(-0,5\right)=-1\iff a=2$.

$\left(d_1\right):y=2x+b$ tiếp xúc $\left(P\right):y=-0,5x^2$ nên phương trình $-0,5x^2=2x+b\iff -0,5x^2-2x-b=0$ có nghiệm kép nên $\Delta =4-2b=0\iff b=2$.

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d_1\right):y=2x+2$.

Phương trình $x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m=0$   (1)

1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff {\left[-\left(m+1\right)\right]}^2-1.\left(m^2+m\right)>0$.

Vậy m > -1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2) Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1.x_2=m^2+m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{x_1+x_2}{2}-1\\ x_1{x}_2={\left(\frac{x_1+x_2}{2}-1\right)}^2+\frac{x_1+x_2}{2}-1\end{array}\right.$

=> ${\left(x_1+x_2\right)}^2-2\left(x_1+x_2\right)-4x_1{x}_2=0$ là hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ mà không phụ thuộc vào tham số m.