Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Long An có đáp án

1) \[T = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right){\left( {\frac{{\sqrt a }}{4} - \frac{1}{{4\sqrt a }}} \right)^2}\]

\[ = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right){\left( {\frac{{a - 1}}{{4\sqrt a }}} \right)^2}\]

\[ = \frac{{4\sqrt a }}{{a - 1}}.\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {4\sqrt a } \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{a - 1}}{{4\sqrt a }}.\]

a) Gọi giá niêm yết của mặt hàng X và Y lần lượt là \[x,y\] (đồng)

Lập được hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x\left( {1 - 20\% } \right) + y\left( {1 - 15\% } \right)\,\,\,\, = 395000\\3x\left( {1 - 30\% } \right) + 2y\left( {1 - 25\% } \right) = 603000\end{array} \right.\]

Giải được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 130000\\y = 220000\end{array} \right.\,\]

Kết luận đúng.

\[ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 3} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 2} - 2x = 0\] (vì \[\sqrt {{x^2} + x + 2} + 3 > 0\,\forall x\])

\( \Rightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1,\,\,x = - \frac{2}{3}\)

Thử lại và kết luận nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 1.\)

Chia được thành các tổ hợp số:

 \(\left( {1\,;\,1\,;\,1\,;6} \right),\,\,\left( {2\,;\,2\,;\,2\,;3} \right),\,\,\left( {1\,;\,1\,;\,2\,;5} \right),\,\left( {1\,;\,1\,;\,3\,;4} \right),\,\left( {2\,;\,2\,;\,1\,;4} \right),\,\left( {3\,;\,3\,;\,1\,;2} \right)\)

Có 4 cách để thử mỗi tổ hợp số \(\left( {1\,;\,1\,;\,1\,;6} \right),\,\,\left( {2\,;\,2\,;\,2\,;3} \right)\)

Có 12 cách để thử mỗi tổ hợp số \(\left( {1\,;\,1\,;\,2\,;5} \right),\,\left( {1\,;\,1\,;\,3\,;4} \right),\,\left( {2\,;\,2\,;\,1\,;4} \right),\,\left( {3\,;\,3\,;\,1\,;2} \right)\)

Vậy ông Tuệ phải thực hiện tối đa \(2.4 + 4.12 = 56\) lần

\(2a + 3b \le 6 \Rightarrow - \,b \ge \frac{2}{3}a - 2\)

\({a^2} - 2a - b \ge {a^2} - 2a + \frac{2}{3}a - 2 = {\left( {a - \frac{2}{3}} \right)^2} - \frac{{22}}{9} \ge - \frac{{22}}{9}\,\,\left( 1 \right)\)

\(2a + b \le 4 \Rightarrow 2{a^2} + ab \le 4a\)

\( \Rightarrow {a^2} - 2a - b \le - \frac{{ab}}{2} - b \le 0\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.