Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án

a) Số học sinh tham gia khảo sát là: \(3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16\) (học sinh)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {11;12} \right)\) là: \(\frac{3}{{16}}.100\%  = 18,75\% \)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {12;13} \right)\) là: \(\frac{6}{{16}}.100\%  = 37,5\% \)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {13;14} \right)\) là: \(\frac{4}{{16}}.100\%  = 25\% \)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {14;15} \right)\) là: \(\frac{2}{{16}}.100\%  = 12,5\% \)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {15;16} \right)\) là: \(\frac{1}{{16}}.100\%  = 6,25\% \)

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

b) Tần số tương đối của số học sinh tham gia chạy có thành tích chạy dưới \(13\) giây là:

\(18,75\%  + 37,5\%  = 56,25\%  > 50\% \)

Vậy nhận định trên là đúng.

Các kết quả có thể xảy ra là: \(1;2;3;4;...;20\) có \(20\) kết quả

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\) là: \(1;3;5;7;9;11\) có \(6\) kết quả

Xác suất của biến cố \(M\) là: \(\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\)

1)Thay \[x = \frac{1}{4}\] (TM ĐKXĐ) vào biểu thức \[A\] ta có:

\[A = \frac{{\frac{1}{2} - 2}}{{\frac{1}{2} - 3}} = \frac{{ - 3}}{2}:\frac{{ - 5}}{2} = \frac{3}{5}\]

2)\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 9}}\]

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3 - \sqrt x  - 3 + x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{x + \sqrt x  - 6}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\]

Vậy \[A = B\] (đpcm)

3)\[B + \sqrt x  \ge 2\]

Suy ra \[B + \sqrt x  - 2 \ge 0\]

Xét \[B + \sqrt x  - 2\]

\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \sqrt x  - 2\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  - 3)}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 2 + x - 5\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{{{(\sqrt x  - 2)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}}\]

\[B + \sqrt x  - 2 \ge 0\] hay \[\frac{{{{(\sqrt x  - 2)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}} \ge 0\] khi \[{(\sqrt x  - 2)^2}\] và \[\sqrt x  - 3\] cùng dấu

Mà \[{(\sqrt x  - 2)^2} \ge 0\] với mọi \[x\]

Suy ra \[\sqrt x  - 3 \ge 0\]

Suy ra \[\sqrt x  \ge 3\]

Suy ra \[x \ge 9\]

Kết hợp ĐKXĐ \[B + \sqrt x  \ge 2\] khi \[x > 9\]

Vì số nguyên \[x\] nhỏ nhất và \[x > 9\] nên \[x = 10\]

Gọi cạnh hình lập phương là \[a\,(m)\] \[a > 0\]

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là \[x\,(m)\]  \[x > 0\]

Suy ra chiều cao hình hộp chữ nhật là: \[x\,(m)\]

Chiều dài hình hộp chữ nhật là: \[6x\,(m)\]

Hình lập phương có 12 cạnh nên tổng độ dài các cạnh là: \[12a\,(m)\]

Hình hộp chữ nhật có tổng độ dài các cạnh là: \[4(6x + x + x) = 32x\,(m)\]

Vì tổng chiều dài thành sắt là \[10\,m\] nên ta có phương trình:

\[12a + 32x = 10\] (1)

Thể tích hình lập phương là: \[{a^3}\,({m^3})\]

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \[6x.x.x = 6{x^3}\,({m^3})\]

Tổng thể tích hai hình là: \[V = {a^3}\, + 6{x^3}\,({m^3})\]

Ta chứng minh: \[{x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\] với \[x,y,z > 0\]

Ta có: \[{(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\]

                         \[ = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)\]

Suy ra

\[{x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y) - 3zyz\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right]\]

Vì  \[x,y,z > 0\] nên \[x + y + z > 0\]

Mà \[{(x - y)^2} \ge 0,\,{(x - z)^2} \ge 0,\,{(y - z)^2} \ge 0\]

Suy ra \[\frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right] \ge 0\]

Suy ra \[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\]

Hay \[{x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\]

\[V = {a^3} + 6{x^3}\]\[ = {a^3} + 3{x^3} + 3{x^3}\]

\[{a^3} + 3{x^3} + 3{x^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}.3{x^3}.3{x^3}}}\]\[ = 3.\sqrt[3]{9}\]

Dấu “=” xảy ra khi \[{a^3} = 3{x^3}\] hay \[a = x\sqrt[3]{3}\]

\[12a + 32x = 10\] (1)

\[12\sqrt[3]{3}x + 32x = 10\]

\[6\sqrt[3]{3}x + 16x = 5\]

\[x = \frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}\]\[ \approx 0.186\]

\[V = {a^3} + 6{x^3} = 3{x^3} + 6{x^3}\]

\[ = 9{x^3} = 9.{\left( {\frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}} \right)^3} \approx 0.058\,({m^3})\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[V\] là\[0.075\,\,{m^3}\] khi \[a \approx 0.034\], \[x \approx 0.186\]

Cạnh hình lập phương khoảng \[0.034\,m\], chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật khoảng \[0.186\,m\]\[0.11\,m\], chiều dài khoảng \[1.116\,m\]

Gọi số trận thắng của đội là \(x\) (\(0 < x < 30;x \in \mathbb{N}\); trận)

Số trận hoà của đội là: \(30 - x\) (trận)

Số điểm mà đội đạt được là: \(2x + 1.(30 - x)\) (điểm)

Vì đội đó đạt được \(58\) điểm nên ta có phương trình:

\(2x + 1.(30 - x) = 58\)

\(2x + 30 - x = 58\)

\(x + 30 = 58\)

\(x = 28\) (thoả mãn)

Vậy đội bóng rổ đã thắng \(28\) trận và số trận hoà là \(30 - 28 = 2\)(trận).

Gọi số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là \(x\) (\(x \in \mathbb{N}*\), chiếc)

Số ngày dự kiến hoàn thành là \(\frac{{300}}{x}\) (ngày)

Số nón là làm mỗi ngày theo thực tế là \(x + 5\) (chiếc)

Số ngày hoàn thành thực tế là \(\frac{{300}}{{x + 5}}\) (ngày)

Vì cơ sở hoàn thành sớm hơn \(3\) ngày so với thời gian đã định nên ta có phương trình:

\(\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3\)

\(\frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = 3\)

\(\frac{{1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = 3\)

\(3{x^2} + 15x - 1500 = 0\)

\(\left( {x + 25} \right)\left( {x - 20} \right) = 0\)

Suy ra \(x =  - 25\) (loại) và \(x = 20\) (thoả mãn)

Vậy số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là \(20\) chiếc.