(0,5 điểm) Một người thợ cơ khí có một cây sắt dài \[10\,m\]. Người đó muốn cắt cây sắt thành các đoạn để hàn thành \[1\] hình lập phương và \[1\] hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng và chiều dài gấp \[6\] lần chiều rộng. Gọi \[V\] là tổng thể tích của hai hình trên. Tính giá trị nhỏ nhất của V.

Gọi cạnh hình lập phương là \[a\,(m)\] \[a > 0\]

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là \[x\,(m)\]  \[x > 0\]

Suy ra chiều cao hình hộp chữ nhật là: \[x\,(m)\]

Chiều dài hình hộp chữ nhật là: \[6x\,(m)\]

Hình lập phương có 12 cạnh nên tổng độ dài các cạnh là: \[12a\,(m)\]

Hình hộp chữ nhật có tổng độ dài các cạnh là: \[4(6x + x + x) = 32x\,(m)\]

Vì tổng chiều dài thành sắt là \[10\,m\] nên ta có phương trình:

\[12a + 32x = 10\] (1)

Thể tích hình lập phương là: \[{a^3}\,({m^3})\]

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \[6x.x.x = 6{x^3}\,({m^3})\]

Tổng thể tích hai hình là: \[V = {a^3}\, + 6{x^3}\,({m^3})\]

Ta chứng minh: \[{x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\] với \[x,y,z > 0\]

Ta có: \[{(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\]

                         \[ = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)\]

Suy ra

\[{x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y) - 3zyz\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx)\]

\[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right]\]

Vì  \[x,y,z > 0\] nên \[x + y + z > 0\]

Mà \[{(x - y)^2} \ge 0,\,{(x - z)^2} \ge 0,\,{(y - z)^2} \ge 0\]

Suy ra \[\frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right] \ge 0\]

Suy ra \[{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\]

Hay \[{x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\]

\[V = {a^3} + 6{x^3}\]\[ = {a^3} + 3{x^3} + 3{x^3}\]

\[{a^3} + 3{x^3} + 3{x^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}.3{x^3}.3{x^3}}}\]\[ = 3.\sqrt[3]{9}\]

Dấu “=” xảy ra khi \[{a^3} = 3{x^3}\] hay \[a = x\sqrt[3]{3}\]

\[12a + 32x = 10\] (1)

\[12\sqrt[3]{3}x + 32x = 10\]

\[6\sqrt[3]{3}x + 16x = 5\]

\[x = \frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}\]\[ \approx 0.186\]

\[V = {a^3} + 6{x^3} = 3{x^3} + 6{x^3}\]

\[ = 9{x^3} = 9.{\left( {\frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}} \right)^3} \approx 0.058\,({m^3})\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[V\] là\[0.075\,\,{m^3}\] khi \[a \approx 0.034\], \[x \approx 0.186\]

Cạnh hình lập phương khoảng \[0.034\,m\], chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật khoảng \[0.186\,m\]\[0.11\,m\], chiều dài khoảng \[1.116\,m\]