(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\] và \[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 9}}\]\[x \ge 0,\,\,x \ne 9\]

1)Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = \frac{1}{4}\].

2)Chứng minh \[A = B\].

3)Tìm số nguyên \[x\] nhỏ nhất để \[B + \sqrt x  \ge 2\]

1)Thay \[x = \frac{1}{4}\] (TM ĐKXĐ) vào biểu thức \[A\] ta có:

\[A = \frac{{\frac{1}{2} - 2}}{{\frac{1}{2} - 3}} = \frac{{ - 3}}{2}:\frac{{ - 5}}{2} = \frac{3}{5}\]

2)\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 9}}\]

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3 - \sqrt x  - 3 + x + \sqrt x }}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{x + \sqrt x  - 6}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\]

Vậy \[A = B\] (đpcm)

3)\[B + \sqrt x  \ge 2\]

Suy ra \[B + \sqrt x  - 2 \ge 0\]

Xét \[B + \sqrt x  - 2\]

\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \sqrt x  - 2\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  - 3)}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 2 + x - 5\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 3}}\]\[ = \frac{{{{(\sqrt x  - 2)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}}\]

\[B + \sqrt x  - 2 \ge 0\] hay \[\frac{{{{(\sqrt x  - 2)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}} \ge 0\] khi \[{(\sqrt x  - 2)^2}\] và \[\sqrt x  - 3\] cùng dấu

Mà \[{(\sqrt x  - 2)^2} \ge 0\] với mọi \[x\]

Suy ra \[\sqrt x  - 3 \ge 0\]

Suy ra \[\sqrt x  \ge 3\]

Suy ra \[x \ge 9\]

Kết hợp ĐKXĐ \[B + \sqrt x  \ge 2\] khi \[x > 9\]

Vì số nguyên \[x\] nhỏ nhất và \[x > 9\] nên \[x = 10\]