Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 4

Quan sát biểu đồ, ta có:

Tổng số học sinh khối \(9\) là: \(40 + 35 + 20 + 25 = 120\) học sinh. Vậy \(N = 120\).

Bảng tần số:

Tần số tương đối của số học sinh yêu thích các môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Khoa học tự nhiên lần lượt là:

\({f_1} = \frac{{40}}{{120}}\,\, \cdot \,\,100\%  \approx 33,33\% \); \({f_2} = \frac{{35}}{{120}}\,\, \cdot \,\,100\%  \approx 29,17\% \);

 \({f_3} = \frac{{20}}{{120}}\,\, \cdot \,\,100\%  \approx 16,67\% \); \({f_4} = \frac{{25}}{{120}}\,\, \cdot \,\,100\%  \approx 20,83\% \).

Bảng tần số tương đối:

Điều kiện \(x \ge 0\), \(x \ne 4\).

 Ta có: \(x =  - \frac{3}{2}\,\, \cdot \,\,\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} =  - \frac{3}{2}\,\, \cdot \,\,\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^3}}} =  - \frac{3}{2}\,\, \cdot \,\,\frac{{ - 2}}{3} = 1\).

Thay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt 1  - 2}}{{\sqrt 1  + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\).

Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{10}}\) khi \(x =  - \frac{3}{2}\,\, \cdot \,\,\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}\).

Ta có: \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\)

                  \( = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{3\sqrt x  - 6 + x + 2\sqrt x  - 9\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                \( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\).

Ta có: \(P = B:A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 9}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\,\, \cdot \,\,\frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = 1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(7 > 0\), \(\sqrt x  + 2 > 0\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} > 0\).

Do \(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\), suy ra \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\)

Do đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\), suy ra \(1 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} + 1 \le \frac{7}{2} + 1\) hay \(1 < P < \frac{9}{2}\).

Mà \(P\) là số chính phương nên \(P = 4\).

Với \(P = 4\), ta có \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} = 3\)

                           \(\sqrt x  + 2 = \frac{7}{3}\)

                                   \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện).

            Vậy \(x = \frac{1}{9}\)thì thoả mãn đề bài.

Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả \(x\) triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, \(y\) triệu đồng cho loại hàng thứ hai. \((x > 0;y > 0)\).

Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT \(10\% \) ) là \(\frac{{110}}{{100}}x\) (triệu đồng), cho loại hàng thứ hai với thuế VAT \(8\% \) là \(\frac{{108}}{{100}}y\) (triệu đồng).

Ta có phương trình \(\frac{{110}}{{100}}x + \frac{{108}}{{100}}y = 21,7\) hay \(1,1x + 1,08y = 21,7\).

Khi thuế VAT là \(9\% \) cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là: \(\frac{{109}}{{100}}\left( {x + y\,} \right) = 21,8\) hay \(1,09x + 1,09y = 21,8{\rm{ }}\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1,1x + 1,08y = 21,7}\\{1,09x + 1,09y = 21,8{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)

Chia cả hai vế phương trình \(\left( 2 \right)\) cho \(1,09\) ta được \(x + y = 20\)

Suy ra \(x = 20 - y\).

Thay \(x = 20 - y\) vào \(1,1x + 1,08y = 21,7\) phương trình ta được \(1,1\left( {20 - y} \right) + 1,08y = 21,7\) hay \( - 0,02y =  - 0,3\) suy ra \(y = 15\).

Thay \(y = 15\) vào \(x = 20 - y\) ta được \(x = 20 - 15 = 5\).

Vậy với \(x = 5\), \(y = 15\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy loại thứ nhất \(5\) triệu đồng, loại thứ hai \(15\) triệu đồng.