(4,0 điểm)

Để làm thí nghiệm về sự nổi của vật không chứa nước. Nam chuẩn bị một ly nước thủy tinh với dạng lòng trong của ly là một hình trụ có đường kính đáy là \(6\,cm\); chiều cao là \(10\,cm\) và một quả bóng bàn tiêu chuẩn quốc tế có dạng hình cầu với đường kính \(40\,mm\). Minh tiến hành bỏ quả bóng bàn vào trong ly rồi rót \(200\,c{m^3}\) nước từ từ vào ly và đo được mực nước dâng cao \(7,2\,cm\).

a) Tính thể tích của quả bóng bàn.

b) Tính thể tích phần nổi của quả bóng bàn trong thí nghiệm của Nam. (lấy \(\pi  \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

a) Chứng minh: \[AQ\] song song với \[OM\].

Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {AQP} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(AQ \bot PQ\).  (1)

Mặt khác, \(MP\) và \(MQ\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\), cắt nhau tại \(M\). Theo chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(MP = MQ\) và \(MO\) là phân giác của \(\widehat {POQ}\).

Suy ra: \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\), đường phân giác \(MO\) đồng thời là đường cao, hay \(OM \bot PQ\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AQ\;{\rm{//}}\;OM\).

b) Chứng minh: \[PQ.PB = 4{R^2}\].

Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(AB \bot OA\).

Xét \(\Delta AQP\) và \(\Delta BAP\) có:\(\widehat {AQP} = \widehat {BAP}\) (góc vuông), \(\widehat {BPA}\) chung.

Suy ra  (g-g).

Suy ra: \(\frac{{PQ}}{{PA}} = \frac{{PA}}{{PB}}\). Suy ra:\(PQ.PB = P{A^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\).

c) Gọi \[K\] là trung điểm của \[MO\]. Tia \[PK\] cắt \[AQ\] tại \[I\]. Chứng minh tứ giác \[MOAI\] là hình bình hành.

 Xét \(\Delta AIP\) có:

    \(O\) là trung điểm của \(AP\) (vì \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(AP\))

    \(OK\;{\rm{//}}\;AI\) (vì \(AQ\;{\rm{//}}\;OM\) theo chứng minh trên).

Suy ra  là trung điểm của  (định lý).

Suy ra  là đường trung bình của .

Suy ra:  (tính chất đường trung bình của tam giác).

Lại có:  (vì  là trung điểm của ) nên .

Xét tứ giác  có:   và  (chứng minh trên).

Suy ra  là hình bình hành.