(0,5 điểm) Một mảnh vải hình vuông có độ dài cạnh là \(c\) (với \(c < 1\)).  Lấy một cạnh mảnh vài hình vuông cố định, người ta cắt mảnh vải đó thành một mảnh vải hình tam giác vơi độ dài ba cạnh lần lượt \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\) và biểu thức \(P = \frac{{a + b}}{{abc}}\) có giá trị nhỏ nhất. Hãy xác định kích thước của mảnh vài hình tam giác đó.

Vì mảnh vải hình tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 < a < 1\); \(0 < b < 1\); \(0 < c < 1\)

Ta có \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\),

Suy ra \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) hay \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\),

Suy ra \(\frac{1}{{ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b\)

Khi đó ta có \(P = \frac{{a + b}}{{abc}} = \frac{{a + b}}{c}\, \cdot \,\frac{1}{{ab}} \ge \frac{{a + b}}{c}\, \cdot \,\frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{c\left( {a + b} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\left( {a + b} \right) + c \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c} \),

Suy ra \(1 \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c} \)

Do đó \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c}  \le \frac{1}{2}\),

Suy ra \(\left( {a + b} \right)\,.\,c \le \frac{1}{4}\)

Suy ra \(\frac{4}{{\left( {a + b} \right)\,.\,c}} \ge 16\) hay \(P \ge 16\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) ( thỏa mãn các điều kiện)

Do đó min \(P = 16\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy kích thước của mảnh vài hình tam giác đó là \(a = b = \frac{1}{4}\); \(c = \frac{1}{2}\).