3a. Tìm được \(x = 2\)               

1)\({\Delta ^'} = 16 - (m - 1) = 17 - m\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^'} \ge 0 \Leftrightarrow m \le 17\)

Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = 8;{\rm{  }}{x_1}{x_2} = m - 1\)

\[P = {({x_1}{x_2})^2} - {x_1}^2 - {x_2}^2 + 2088 = {({x_1}{x_2})^2} - {({x_1} + {x_2})^2} + 2{x_1}{x_2} + 2088\]

\[ = {(m - 1)^2} - {8^2} + 2(m - 1) + 2088 = {m^2} + 2023 \ge 2023\].

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = 0\,\,(TM)\)

2)Gọi số chiếc xe ban đầu của đội xe là \[x\] (\(x \in {N^*}\))

½ Số tấn xi măng mỗi xe phải chở theo dự định là: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn).

Lập được phương trình: \(\frac{{120}}{x} = \frac{{125}}{{x + 5}} + 1\)

Giải phương trình tìm được \({x_1} = 20\,\,(TM);{\rm{ }}{x_2} =  - 30\,\,(KTM)\)

KL: …

1.\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} + 5x + 3y = 11\\ \Leftrightarrow (x + y + 2)(2x + y + 1) = 13\end{array}\) 

Vì x, y nguyên nên (x;y) = (13; –14); (–12; 23); (–11; 8); (13; –28)

2.\(4{a^2} - 2ab + {b^2} = 4a + 2b \Leftrightarrow {a^2} - a.\frac{b}{2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = a + \frac{b}{2}\)

Đặt \(m = \frac{b}{2}\), ta có \({a^2} - am + {m^2} = a + m{\rm{  }}\left( 1 \right)\) và \(P = 253\left( {2a + b} \right) = 506\left( {a + \frac{b}{2}} \right) = 506\left( {a + m} \right)\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {a + m} \right)^2} - 3{\rm{am}} = a + m \Leftrightarrow {\left( {a + m} \right)^2} = \left( {a + m} \right) + 3{\rm{am}}\].

Chứng minh được  \({\left( {a + m} \right)^2} \ge 4{\rm{am}} \Leftrightarrow am \le \frac{{{{\left( {a + m} \right)}^2}}}{4}\).

Suy ra \({\left( {a + m} \right)^2} = \left( {a + m} \right) + 3{\rm{am}} \le \left( {a + m} \right) + \frac{3}{4}{\left( {a + m} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{4}{\left( {a + m} \right)^2} \le a + m\)

\[ \Leftrightarrow \left( {a + m} \right)\left[ {\left( {a + m} \right) - 4} \right] \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a + m \le 4\].

Do đó \(0 \le P \le 4.506 \Leftrightarrow 0 \le P \le 2024\).

Vậy \(\,\max P = 2024 \Leftrightarrow a = m = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\).