Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT TP Hà Nội năm học 2025-2026 có đáp án

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, suy ra tần số của nhóm \(\left[ {12;16} \right)\) là bằng \(75\).

                Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {12;16} \right)\) là: \(\frac{{75}}{{300}}.100\%  = 25\% .\)

Do \(8\) chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên \(1\) thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

                Ta có \(8\) kết quả có thể xảy ra là: \[1,2,3,4,5,6,7,8.\]

                Có \(2\) kết quả thuận lợi của biến cố \(A:\) “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3” là: 3,6

                Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{\sqrt 9  + 2}}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5\).

                Vậy với \(x = 9\) thì biểu thức \(A = 5\).                     

                2) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có:

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\) (điều phải chứng minh).

                3) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

                Để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} < \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{2} < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x  + 2}}{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} < 0\)

                Mà \[\sqrt x  + 2 > 0\] với mọi \[x\], suy ra: \[2\left( {\sqrt x  - 2} \right) < 0\]

                                                                          \[\begin{array}{l}\sqrt x  < 2\\x < 4\end{array}\]

                Kết hợp điều kiện \(x > 0;\,x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\), mà \(x\) là số nguyên lớn nhất, suy ra \(x = 3\).

Gọi số xe mà công ty cần bổ sung là \(x\) (xe, \(x \in \mathbb{N}\)).

                Lợi nhuận trung bình của mỗi xe sau khi bổ sung thêm \(x\) xe là: \(1000 - 2x\) (nghìn đồng).

                Số xe của đội xe sau khi bổ sung thêm \(x\) xe là: \(35 + x\) (xe).

                Tổng lợi nhuận mà đội xe thu được là: \(L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - x} \right)\) (nghìn đồng)

                Có: \(L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - 20x} \right) =  - 20{x^2} + 300x + 35000 =  - 5{\left( {2x - 15} \right)^2} + 36125\)

                Do \(x \in \mathbb{N} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 15 \ne 0\\{\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) nên \({\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 1\), suy ra \( - 5{\left( {2x - 15} \right)^2} \le  - 5\)

                Khi đó: \(L\left( x \right) \le 36120\)

                Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2x - 15} \right)^2} = 1\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2x - 15 = 1\\2x - 15 =  - 1\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 8\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

                Vậy công ty nên bổ sung thêm 7 xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày là lớn nhất.

Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(x\) (km, \(x > 0\)).

                Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: \(\frac{x}{{60}}\) (giờ).

                Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

                Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là \(1\) giờ, nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{60}} + 1 = \frac{x}{{40}}\) hay \(\frac{{2x}}{{120}} + \frac{{120}}{{120}} = \frac{{3x}}{{120}}\)

                Suy ra: \(3x = 2x + 120\), suy ra \(x = 120\) (thỏa mãn điều kiện).

                Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(120\) km.

Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là \(x,\,y\) (nghìn đồng, \(0 < x,y < 885\)).

                Vì tổng giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là \(885\) nghìn đồng, ta có phương trình: \(x + y = 885\)   (1).

                Giá tiền của một chiếc ba lô sau khi giảm \(20\% \) là: \(x - 20\% .x = 0,8x\) (nghìn đồng).

                Giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay sau khi giảm \(25\% \) là: \(y - 25\% .y = 0,75y\) (nghìn đồng).

                Khi đó, bạn Quốc phải trả \(682\) nghìn đồng nên ta có phương trình: \(0,8x + 0,75y = 682\)   (2).

                Từ (1) suy ra \(y = 885 - x\), thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

                \(0,8x + 0,75\left( {885 - x} \right) = 682\) hay \(0,8x + 663,75 - 0,75x = 682\)

                Suy ra: \(0,05x = 18,25\), suy ra: \(x = 365\) (thỏa mãn điều kiện).

                Với \(x = 365\) thì \(y = 885 - 365 = 520\) (thỏa mãn điều kiện).

                Vậy giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là \(365\) nghìn đồng và \(520\) nghìn đồng.