(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x > 0;\,x \ne 4\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).
3) Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\).
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x > 0;\,x \ne 4\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).
3) Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5\).
Vậy với \(x = 9\) thì biểu thức \(A = 5\).
2) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có:
\(B = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + \sqrt x - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\) (điều phải chứng minh).
3) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
Để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{2} < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}} < 0\)
Mà \[\sqrt x + 2 > 0\] với mọi \[x\], suy ra: \[2\left( {\sqrt x - 2} \right) < 0\]
\[\begin{array}{l}\sqrt x < 2\\x < 4\end{array}\]
Kết hợp điều kiện \(x > 0;\,x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\), mà \(x\) là số nguyên lớn nhất, suy ra \(x = 3\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số xe mà công ty cần bổ sung là \(x\) (xe, \(x \in \mathbb{N}\)).
Lợi nhuận trung bình của mỗi xe sau khi bổ sung thêm \(x\) xe là: \(1000 - 2x\) (nghìn đồng).
Số xe của đội xe sau khi bổ sung thêm \(x\) xe là: \(35 + x\) (xe).
Tổng lợi nhuận mà đội xe thu được là: \(L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - x} \right)\) (nghìn đồng)
Có: \(L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - 20x} \right) = - 20{x^2} + 300x + 35000 = - 5{\left( {2x - 15} \right)^2} + 36125\)
Do \(x \in \mathbb{N} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 15 \ne 0\\{\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) nên \({\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 1\), suy ra \( - 5{\left( {2x - 15} \right)^2} \le - 5\)
Khi đó: \(L\left( x \right) \le 36120\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2x - 15} \right)^2} = 1\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2x - 15 = 1\\2x - 15 = - 1\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 8\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy công ty nên bổ sung thêm 7 xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày là lớn nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(x\) (km, \(x > 0\)).
Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: \(\frac{x}{{60}}\) (giờ).
Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).
Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là \(1\) giờ, nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{60}} + 1 = \frac{x}{{40}}\) hay \(\frac{{2x}}{{120}} + \frac{{120}}{{120}} = \frac{{3x}}{{120}}\)
Suy ra: \(3x = 2x + 120\), suy ra \(x = 120\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(120\) km.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập