1.\[A = \frac{{{{(\sqrt x - 2)}^2} - (\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3) - 9 + x}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 2)}}:\frac{1}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{(\sqrt x - 2)}^2} - (x - 9) - 9 + x}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 2)}}:\frac{1}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{(\sqrt x - 2)}^2}}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 2)}}:\frac{1}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\left( {\sqrt x + 3} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right)\]

\[ = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) = x - 3\sqrt x + 2\]

2.$A = x - 3\sqrt x + 2 > - 2$ \[(\forall x \ge 0;x \ne 4;x \ne 1).\]

$ \Leftrightarrow x - 3\sqrt x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\,(\forall x \ge 0;x \ne 4;x \ne 1).$

Vậy $A > - 2$ với $\forall x \ge 0;x \ne 4;x \ne 1$

Câu 2

1. Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình $y = \left( {m - 2} \right)x + 2m - 1$ (với $m$ là tham số) và điểm $A\left( { - 1;2} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\\sqrt {x + 6} + \sqrt {y + 3} = - {x^2} + 2x + 8\end{array} \right.\,\].

Xem đáp án

Lời giải

1.Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định nằm trên đường thẳng $d$

$ \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m - 2} \right){x_0} + 2m - 1$ có nghiệm với $\forall m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\,\left( {\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\end{array}$

Gọi $H$ là hình chiếu của A trên $d \Rightarrow AH \le AM$

Khoảng cách $AH$ lớn nhất là $AM$khi $H \equiv M \Leftrightarrow AM \bot d$

Phương trình đường thẳng $AM:\,y = - x + 1$

$AM \bot d \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = 3.$

2.ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 6\\y \ge - 3\end{array} \right.$

\[\begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + 2 > 0\,\,\forall x,y} \right)\end{array}\]

Thay $y = x - 2$ vào phương trình $\left( 2 \right)$

\[\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 1} = - {x^2} + 2x + 8,\,\,\,\,(x \ge - 1)\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} - 3 + \sqrt {x + 1} - 2 + {x^2} - 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1 > 0,\,\forall x \ge - 1} \right)\\x = 3 \Rightarrow y = 1.\end{array}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)$

Câu 3

Cho tam giác $ABC$ $\left( {AB < AC} \right)$ có các góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Các đường cao $AK,\,BE,\,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ và cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại các điểm lần lượt là $M,\,N,\,P$ ($M$ khác $A$, $N$ khác $B$, $P$ khác $C$).

1. Chứng minh \[EF\,{\rm{//}}\,PN.\] 

2. Chứng minh diện tích tứ giác $AEOF$ bằng $\frac{{EF.R}}{2}.$

3. Tính giá trị của biểu thức \[\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}}.\]

4. Gọi $S$ và $Q$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $K$ đến các cạnh $AB,\,AC$. Đường thẳng $QS$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $GA$ cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $J$

($J$ khác $A$). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCQS$. Chứng minh ba điểm $I,\,K,\,J$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ ( {AB < AC} có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

1.$\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = {90^0} \Rightarrow $ tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$ \Rightarrow \widehat {CBE} = \widehat {CFE}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà $\widehat {CBE} = \widehat {CPN}$( góc nội tiếp cùng chắn cung )

$ \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CPN} \Rightarrow EF\,//\,PN\,$

2.\[\widehat {ABN} = \widehat {ACP}\] (cùng phụ với $\widehat {BAC}$ )

$ \Rightarrow AN = AP\,\,$

$ON = OP = R$

$ \Rightarrow A,\,O$nằm trên đường trung trực của $PN$

$ \Rightarrow AO \bot PN$

Mà $EF\,//\,PN\, \Rightarrow AO \bot EF \Rightarrow {S_{AEOF}} = \frac{{EF.R}}{2}$

3.$\widehat {BAM} = \widehat {BCM}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung )

$\widehat {BAM} = \widehat {BCF}$ (cùng phụ với $\widehat {ABC}$)

$ \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BCM}$

$\Delta MCH$ có $CK$ vừa là đường phân giác vừa là đường cao

$ \Rightarrow $$\Delta MCH$cân tại $C \Rightarrow K$ là trung điểm của $MH$

\[\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}} = \frac{{AK + KM}}{{AK}} + \frac{{BE + EN}}{{BE}} + \frac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \frac{{KM}}{{AK}} + \frac{{EN}}{{BE}} + \frac{{FP}}{{CF}}.\end{array}\]

\[\frac{{KM}}{{AK}} = \frac{{KH}}{{AK}} = \frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\]

Chứng minh tương tự: \[\frac{{EN}}{{BE}} = \frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\,\frac{{FP}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\]

\[\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}} = 3 + \frac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3 + 1 = 4.\]

$Cho tam giác $ABC$ ( {AB < AC} có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

4.\[\widehat {ASK} + \widehat {AQK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] nên \[{\rm{AS}}KQ\] là tứ giác nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {ASQ} = \widehat {AKQ}\]

\[\widehat {AKQ} = \widehat {BCQ}\] (cùng phụ với $\widehat {CKQ}$ )

Do đó \[\widehat {ASQ} = \widehat {BCQ}\]

Suy ra $BSQC$ là tứ giác nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {GBS} = \widehat {GQC}$

Vì \[ASKQ\]là tứ giác nội tiếp nên: $\widehat {GQK} = \widehat {BAK}$

Mà $\widehat {BAK} = \widehat {GKS}$(cùng phụ với $\widehat {SBK}$) nên $\widehat {GQK} = \widehat {GKS}$

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow G{K^2} = GB.GC\,\,\]

\[ \Rightarrow G{K^2} = GJ.GA \Rightarrow \frac{{GK}}{{GA}} = \frac{{GJ}}{{GK}}\]

⇒ $Δ G K J ∽ Δ G A K \Rightarrow \hat{G J K} = \hat{G K A} = 90 °$

⇒ AJ ⊥ JK

$JK$ cắt $\left( O \right)$ tại $D$ ($D$khác $K$) thì $AD$là đường kính của $\left( O \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm $KD$, $L$ là trung điểm $QC$.

Khi đó $OI$ là đường trung bình của $\Delta AKD \Rightarrow OI{\rm{//}}AK \Rightarrow OI \bot BC$

Mà $OB = OC$ nên $OI$ là trung trực $BC$ (3)

Vì $KQ{\rm{//}}DC$ (cùng vuông góc$AC$) nên $KQCD$ là hình thang.

⇒ $IL$ là đường trung bình của hình thang $KQCD$

⇒ $IL{\rm{//}}KQ \Rightarrow IL \bot QC$

⇒ $IL$ là trung trực của $QC$ (4)

Từ (3) và (4) ⇒ $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BSQC$

Vậy $I,\,K,\,J$ thẳng hàng.

Câu 4

Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn:

${x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

\[\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - 32x + 24 = {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2}({x^2} - 2x + 6) = {(y - 2)^2}\end{array}\]

Với $y = 2 \Rightarrow x = 2$

Với $y \ne 2$ ta có (y – 2)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên \[{x^2} - 2x + 6\] là số chính phương.

Đặt \[{x^2} - 2x + 6 = {m^2}\]\[(m \in {N^*})\]

\[\begin{array}{l}{(x - 1)^2} + 5 = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1 - m} \right)\left( {x - 1 + m} \right) = - 5\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 5\\x - 1 - m = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 1\\x - 1 - m = - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {x - 1 + m > x - 1 - m} \right)\\{\rm{ < = > }}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

· x = 3 ⇒ (y – 2)2 = 9 ⇒ y = 5 hoặc y = –1

· x = –1 ⇒ (y – 2)2 = 81 ⇒ y = 11 hoặc y = –7

Vậy các bộ (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là (2; 2), (3; 5), (3; –1), (–1; 11),(– 1; – 7).

Câu 5

Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0$.

Chứng minh: \[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\].

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 2\]

Đặt \[x = \frac{a}{c}\], \[y = \frac{b}{c}\] (x, y >0)

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} = xy\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \[xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\]

Do đó:

\[{\left( {x + y - 1} \right)^2} \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow \left[ {3\left( {x + y} \right) - 2} \right].\left[ {2 - \left( {x + y} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le x + y \le 2\]

\[P = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y - 1)}^2}}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}} \right) \ge \frac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2(x + y)\sqrt {xy} }}} \end{array}\]

\[P \ge \frac{4}{{{2^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2.2}}} = 2\]

Dấu bằng xảy ra khi x = y =1\[ \Leftrightarrow \]a = b = c.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý