Cho biểu thức:

\[A = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x  - 6}}} \right):\frac{1}{{x + 2\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\,(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 4).\]

1. Rút gọn biểu thức A.                        

2. Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A >  - 2\) .

\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 2\]

Đặt \[x = \frac{a}{c}\], \[y = \frac{b}{c}\] (x, y >0)

 \[{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} = xy\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:  \[xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\]

Do đó:

 \[{\left( {x + y - 1} \right)^2} \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow \left[ {3\left( {x + y} \right) - 2} \right].\left[ {2 - \left( {x + y} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le x + y \le 2\]

\[P = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y - 1)}^2}}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}} \right) \ge \frac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2(x + y)\sqrt {xy} }}} \end{array}\]

\[P \ge \frac{4}{{{2^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2.2}}}  = 2\]

Dấu bằng xảy ra khi x = y =1\[ \Leftrightarrow \]a = b = c.

1.Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định nằm trên đường thẳng \(d\)

\( \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m - 2} \right){x_0} + 2m - 1\) có nghiệm với \(\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\,\left( {\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\{y_0} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của A trên \(d \Rightarrow AH \le AM\)

Khoảng cách \(AH\) lớn nhất là \(AM\)khi \(H \equiv M \Leftrightarrow AM \bot d\)

Phương trình đường thẳng \(AM:\,y =  - x + 1\)

\(AM \bot d \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) =  - 1 \Leftrightarrow m = 3.\)

2.ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 6\\y \ge  - 3\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + 2 > 0\,\,\forall x,y} \right)\end{array}\]

Thay \(y = x - 2\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\)

\[\sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  =  - {x^2} + 2x + 8,\,\,\,\,(x \ge  - 1)\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6}  - 3 + \sqrt {x + 1}  - 2 + {x^2} - 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} + \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + x + 1 > 0,\,\forall x \ge  - 1} \right)\\x = 3 \Rightarrow y = 1.\end{array}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)\)