Cho biểu thức:

\[A = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x  - 6}}} \right):\frac{1}{{x + 2\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\,(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 4).\]

1. Rút gọn biểu thức A.                        

2. Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A >  - 2\) .

\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 2\]

Đặt \[x = \frac{a}{c}\], \[y = \frac{b}{c}\] (x, y >0)

 \[{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} = xy\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:  \[xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\]

Do đó:

 \[{\left( {x + y - 1} \right)^2} \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow \left[ {3\left( {x + y} \right) - 2} \right].\left[ {2 - \left( {x + y} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le x + y \le 2\]

\[P = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y - 1)}^2}}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}} \right) \ge \frac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2(x + y)\sqrt {xy} }}} \end{array}\]

\[P \ge \frac{4}{{{2^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2.2}}}  = 2\]

Dấu bằng xảy ra khi x = y =1\[ \Leftrightarrow \]a = b = c.

\[\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - 32x + 24 = {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2}({x^2} - 2x + 6) = {(y - 2)^2}\end{array}\]

Với \(y = 2 \Rightarrow x = 2\)

Với \(y \ne 2\) ta có (y – 2)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên \[{x^2} - 2x + 6\] là số chính phương.

Đặt \[{x^2} - 2x + 6 = {m^2}\]\[(m \in {N^*})\]

\[\begin{array}{l}{(x - 1)^2} + 5 = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1 - m} \right)\left( {x - 1 + m} \right) =  - 5\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 5\\x - 1 - m =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 1\\x - 1 - m =  - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {x - 1 + m > x - 1 - m} \right)\\{\rm{ <  =  > }}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

· x = 3 ⇒ (y – 2)2 = 9 ⇒ y = 5 hoặc y = –1

· x = –1 ⇒ (y – 2)2 = 81 ⇒ y = 11 hoặc y = –7

Vậy các bộ (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là (2; 2), (3; 5), (3; –1), (–1; 11),(– 1; – 7).