Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn:
\({x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0.\)
Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn:
\({x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - 32x + 24 = {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2}({x^2} - 2x + 6) = {(y - 2)^2}\end{array}\]
Với \(y = 2 \Rightarrow x = 2\)
Với \(y \ne 2\) ta có (y – 2)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên \[{x^2} - 2x + 6\] là số chính phương.
Đặt \[{x^2} - 2x + 6 = {m^2}\]\[(m \in {N^*})\]
\[\begin{array}{l}{(x - 1)^2} + 5 = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1 - m} \right)\left( {x - 1 + m} \right) = - 5\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 5\\x - 1 - m = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 1\\x - 1 - m = - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {x - 1 + m > x - 1 - m} \right)\\{\rm{ < = > }}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]
· x = 3 ⇒ (y – 2)2 = 9 ⇒ y = 5 hoặc y = –1
· x = –1 ⇒ (y – 2)2 = 81 ⇒ y = 11 hoặc y = –7
Vậy các bộ (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là (2; 2), (3; 5), (3; –1), (–1; 11),(– 1; – 7).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 2\]
Đặt \[x = \frac{a}{c}\], \[y = \frac{b}{c}\] (x, y >0)
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} = xy\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \[xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\]
Do đó:
\[{\left( {x + y - 1} \right)^2} \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow \left[ {3\left( {x + y} \right) - 2} \right].\left[ {2 - \left( {x + y} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le x + y \le 2\]
\[P = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\]
\[\begin{array}{l} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y - 1)}^2}}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2xy}} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}} \right) \ge \frac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2(x + y)\sqrt {xy} }}} \end{array}\]
\[P \ge \frac{4}{{{2^2}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{2.2}}} = 2\]
Dấu bằng xảy ra khi x = y =1\[ \Leftrightarrow \]a = b = c.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1.\(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)
\( \Rightarrow \widehat {CBE} = \widehat {CFE}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung )
Mà \(\widehat {CBE} = \widehat {CPN}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung )
\( \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CPN} \Rightarrow EF\,//\,PN\,\)
2.\[\widehat {ABN} = \widehat {ACP}\] (cùng phụ với \(\widehat {BAC}\) )
\( \Rightarrow AN = AP\,\,\)
\(ON = OP = R\)
\( \Rightarrow A,\,O\)nằm trên đường trung trực của \(PN\)
\( \Rightarrow AO \bot PN\)
Mà \(EF\,//\,PN\, \Rightarrow AO \bot EF \Rightarrow {S_{AEOF}} = \frac{{EF.R}}{2}\)
3.\(\widehat {BAM} = \widehat {BCM}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung )
\(\widehat {BAM} = \widehat {BCF}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC}\))
\( \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BCM}\)
\(\Delta MCH\) có \(CK\) vừa là đường phân giác vừa là đường cao
\( \Rightarrow \)\(\Delta MCH\)cân tại \(C \Rightarrow K\) là trung điểm của \(MH\)
\[\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}} = \frac{{AK + KM}}{{AK}} + \frac{{BE + EN}}{{BE}} + \frac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \frac{{KM}}{{AK}} + \frac{{EN}}{{BE}} + \frac{{FP}}{{CF}}.\end{array}\]
\[\frac{{KM}}{{AK}} = \frac{{KH}}{{AK}} = \frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\]
Chứng minh tương tự: \[\frac{{EN}}{{BE}} = \frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\,\frac{{FP}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\]
\[\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}} = 3 + \frac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3 + 1 = 4.\]
4.\[\widehat {ASK} + \widehat {AQK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] nên \[{\rm{AS}}KQ\] là tứ giác nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {ASQ} = \widehat {AKQ}\]
\[\widehat {AKQ} = \widehat {BCQ}\] (cùng phụ với \(\widehat {CKQ}\) )
Do đó \[\widehat {ASQ} = \widehat {BCQ}\]
Suy ra \(BSQC\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {GBS} = \widehat {GQC}\)
Vì \[ASKQ\]là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {GQK} = \widehat {BAK}\)
Mà \(\widehat {BAK} = \widehat {GKS}\)(cùng phụ với \(\widehat {SBK}\)) nên \(\widehat {GQK} = \widehat {GKS}\)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow G{K^2} = GB.GC\,\,\]
\[ \Rightarrow G{K^2} = GJ.GA \Rightarrow \frac{{GK}}{{GA}} = \frac{{GJ}}{{GK}}\]
⇒
⇒ AJ ⊥ JK
\(JK\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\) (\(D\)khác \(K\)) thì \(AD\)là đường kính của \(\left( O \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(KD\), \(L\) là trung điểm \(QC\).
Khi đó \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta AKD \Rightarrow OI{\rm{//}}AK \Rightarrow OI \bot BC\)
Mà \(OB = OC\) nên \(OI\) là trung trực \(BC\) (3)
Vì \(KQ{\rm{//}}DC\) (cùng vuông góc\(AC\)) nên \(KQCD\) là hình thang.
⇒ \(IL\) là đường trung bình của hình thang \(KQCD\)
⇒ \(IL{\rm{//}}KQ \Rightarrow IL \bot QC\)
⇒ \(IL\) là trung trực của \(QC\) (4)
Từ (3) và (4) ⇒ \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BSQC\)
Vậy \(I,\,K,\,J\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập