Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Hưng Yên có đáp án

a) \[A = \left( {\frac{{x + 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]                                 ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\)

                = \[\left( {\frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}} + \frac{2}{{\sqrt x (\sqrt x  - )}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]

                = \[\left( {\frac{{x + 2}}{{(\sqrt x  - 1)\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{1}} \right)\]

                = \[\frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\]

b) \(A = 3 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = 3\)

                \( \Leftrightarrow x + 2 = 3\sqrt x \)

                \( \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  + 2 = 0\)

                \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(l)\\x = 4(n)\end{array} \right.\]

        Vậy A = 3 khi x = 4.

1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d)

\[{x^2} = (m + 1)x - m + 5\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 5 = 0\](*)

Ta có \[\Delta  = {(m + 1)^2} - 4(m - 5)\]

\[ = {m^2} - 2m + 21\]

\[ = {(m - 1)^2} + 20 > 0\]

Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Theo hệ thức vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)

        (*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = m(x - 1)\)

Xét \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow x - \frac{5}{{x - 1}} = m\)  (1)

Vì \({x_1};{x_2} \in Z\)nên \(m + 1\) và \(m - 5\) là các số nguyên do đó \(m\)cũng là số nguyên

Từ (1) ta có 

  \(m \in Z\) khi \(\left( {x - \frac{5}{{x - 1}}} \right) \in Z\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \in Z\\5 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(m =  - 3;m = 5\)

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 =  - 5 \Leftrightarrow x =  - 4 \Rightarrow m =  - 3\\x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow m =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  - 3;m = 5\) thỏa yêu cầu bài toán

2) \[{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 16{y^2} + 12x - 16y + 4 = 0\]

            \[ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} - 3{x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 4x + 8x + 8 = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \[ \Leftrightarrow (x + 1){x^3} + 3{x^2}(x + 1) + 4x(x + 1) + 8(x + 1) = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \( \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} - 3{x^2} + 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2}({x^2} - 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

Vì \(y \in z \Rightarrow 4y + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1\)

Vì \(x,y \in z\) nên \({(x + 1)^2}\) và \({(4y + 2)^2}\) là số chính phương khác 0 nên \(({x^2} - 4x + 8)\) cũng là số chính phương

Đặt \({x^2} - 4x + 8 = m\) \((m \in {N^*})\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + 4 = {m^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} - {m^2} =  - 4\)

            \( \Leftrightarrow (x - 2 - m)(x - 2 + m) =  - {4^{(*)}}\)

Do \(x - 2 - m < x - 2 + m\)

Nên\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 4\\x - 2 + m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 2\\x - 2 + m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 1\\x - 2 + m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

 \(x =  - 2 \Rightarrow {(4y + 2)^2} = 4\) \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y + 2 = 2\\4y + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y = 0\\4y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (– 2; 0); (– 2; – 1).

1) \[\sqrt {\frac{{3x - 2}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\frac{{3 - x}}{{x - 1}}}  = 1\]

ĐK: \(1 < x \le 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2}  - \sqrt {3 - x}  = \sqrt {x - 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2}  = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 2 = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 4 = 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \) (*)

(*) có điều kiện: \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3}\)

(*) \( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 = 4(x - 1)(3 - x)\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 =  - 4{x^2} + 16x - 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13{x^2} - 40x + 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(n)\\x = \frac{{14}}{{13}}(l)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình: \(x = 2\).

2)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2x + 4y - 1\\xy + x + 2y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2(1 - xy) - 1\\x + 2y = 1 - xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + 3xy = 1(1)\\x + 2y = 1 - xy(2)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {(x + y)^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + 3xy - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - {1^3} - 3xy(x + y - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + x + y + 1 - 3xy} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)

Với \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\) thay vào (2) ta được:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\(1 - y + 2y = 1 - (1 - y)y\)\( \Leftrightarrow y\left( {y - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 1\\y = 2 \Rightarrow x =  - 1\end{array} \right.\)

Với : \({x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x + 2y + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y =  - 1\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \((1;0),(2; - 1),( - 1; - 1)\).

Ta có: \(4xy + 2yz + 3xz = 24 \Leftrightarrow \frac{{xy}}{6} = \frac{{yz}}{{12}} = \frac{{xz}}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2}.\frac{y}{3} + \frac{y}{3}.\frac{z}{4} + \frac{x}{2}.\frac{z}{4} = 1\)         

Đặt \(\frac{x}{2} = a > 0;\frac{y}{3} = b > 0;\frac{z}{4} = c > 0 \Rightarrow ab + bc + ac = 1\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{4a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4} }} + \frac{{3b}}{{\sqrt {9{b^2} + 9} }} + \frac{{4c}}{{\sqrt {16{c^2} + 16} }}\\ = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }}\end{array}\)

\( = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + ab + bc + ca} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + ab + bc + ac} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + ab + bc + ac} }}\)

\( = \frac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }}\)

\( = \sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}.\frac{{2a}}{{a + c}}}  + \sqrt {\frac{{2b}}{{a + b}}.\frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}}  + \sqrt {\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}}.\frac{{2c}}{{a + c}}} \)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{a + b}} + \frac{{2a}}{{a + c}} \ge 2\sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}.\frac{{2a}}{{a + c}}} \\\frac{{2b}}{{a + b}} + \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}} \ge 2\sqrt {\frac{{2b}}{{a + b}}.\frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}} \\\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{{2c}}{{a + c}} \ge 2\sqrt {\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}}.\frac{{2c}}{{a + c}}} \end{array}\)

\(p \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2a}}{{a + b}} + \frac{{2a}}{{a + c}} + \frac{{2b}}{{a + b}} + \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{{2c}}{{a + c}}} \right)\)

  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{2(b + c)}}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {2 + 2 + \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \frac{9}{4}\end{array}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2a}}{{a + b}} = \frac{{2a}}{{a + c}}\\\frac{{2b}}{{a + b}} = \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}\\\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} = \frac{{2c}}{{a + c}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a + b = 8b\\a + c = 8c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a = 7b\\a = 7c\end{array} \right.\)

\(ab + bc + ac = 1 \Leftrightarrow 7{b^2} + {b^2} + 7{b^2} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{{15}} \Leftrightarrow b = \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow y = \frac{3}{{\sqrt {15} }}\\c = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow z = \frac{4}{{\sqrt {15} }}\\a = \frac{7}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow x = \frac{{14}}{{\sqrt {15} }}\end{array} \right.\).