Cho biểu thức .

a) Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{2}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

b) Tìm giá trị của x để A = 3.

1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d)

\[{x^2} = (m + 1)x - m + 5\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 5 = 0\](*)

Ta có \[\Delta  = {(m + 1)^2} - 4(m - 5)\]

\[ = {m^2} - 2m + 21\]

\[ = {(m - 1)^2} + 20 > 0\]

Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Theo hệ thức vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)

        (*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = m(x - 1)\)

Xét \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow x - \frac{5}{{x - 1}} = m\)  (1)

Vì \({x_1};{x_2} \in Z\)nên \(m + 1\) và \(m - 5\) là các số nguyên do đó \(m\)cũng là số nguyên

Từ (1) ta có 

  \(m \in Z\) khi \(\left( {x - \frac{5}{{x - 1}}} \right) \in Z\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \in Z\\5 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(m =  - 3;m = 5\)

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 =  - 5 \Leftrightarrow x =  - 4 \Rightarrow m =  - 3\\x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow m =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  - 3;m = 5\) thỏa yêu cầu bài toán

2) \[{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 16{y^2} + 12x - 16y + 4 = 0\]

            \[ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} - 3{x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 4x + 8x + 8 = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \[ \Leftrightarrow (x + 1){x^3} + 3{x^2}(x + 1) + 4x(x + 1) + 8(x + 1) = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \( \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} - 3{x^2} + 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2}({x^2} - 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

Vì \(y \in z \Rightarrow 4y + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1\)

Vì \(x,y \in z\) nên \({(x + 1)^2}\) và \({(4y + 2)^2}\) là số chính phương khác 0 nên \(({x^2} - 4x + 8)\) cũng là số chính phương

Đặt \({x^2} - 4x + 8 = m\) \((m \in {N^*})\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + 4 = {m^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} - {m^2} =  - 4\)

            \( \Leftrightarrow (x - 2 - m)(x - 2 + m) =  - {4^{(*)}}\)

Do \(x - 2 - m < x - 2 + m\)

Nên\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 4\\x - 2 + m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 2\\x - 2 + m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 1\\x - 2 + m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

 \(x =  - 2 \Rightarrow {(4y + 2)^2} = 4\) \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y + 2 = 2\\4y + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y = 0\\4y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (– 2; 0); (– 2; – 1).