1. Cho \(\Delta ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, từ đó suy ra KF.KE = KB.KC.

b) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng.

2. Một chi tiết máy gồm hai nửa hình cầu bằng nhau và một hình trụ (hình vẽ). Hãy tính thể tích của chi tiết máy đó theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Ta có: \(4xy + 2yz + 3xz = 24 \Leftrightarrow \frac{{xy}}{6} = \frac{{yz}}{{12}} = \frac{{xz}}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2}.\frac{y}{3} + \frac{y}{3}.\frac{z}{4} + \frac{x}{2}.\frac{z}{4} = 1\)         

Đặt \(\frac{x}{2} = a > 0;\frac{y}{3} = b > 0;\frac{z}{4} = c > 0 \Rightarrow ab + bc + ac = 1\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{4a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4} }} + \frac{{3b}}{{\sqrt {9{b^2} + 9} }} + \frac{{4c}}{{\sqrt {16{c^2} + 16} }}\\ = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }}\end{array}\)

\( = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + ab + bc + ca} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + ab + bc + ac} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + ab + bc + ac} }}\)

\( = \frac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }}\)

\( = \sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}.\frac{{2a}}{{a + c}}}  + \sqrt {\frac{{2b}}{{a + b}}.\frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}}  + \sqrt {\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}}.\frac{{2c}}{{a + c}}} \)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{a + b}} + \frac{{2a}}{{a + c}} \ge 2\sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}.\frac{{2a}}{{a + c}}} \\\frac{{2b}}{{a + b}} + \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}} \ge 2\sqrt {\frac{{2b}}{{a + b}}.\frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}} \\\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{{2c}}{{a + c}} \ge 2\sqrt {\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}}.\frac{{2c}}{{a + c}}} \end{array}\)

\(p \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2a}}{{a + b}} + \frac{{2a}}{{a + c}} + \frac{{2b}}{{a + b}} + \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} + \frac{{2c}}{{a + c}}} \right)\)

  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{2(b + c)}}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {2 + 2 + \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \frac{9}{4}\end{array}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2a}}{{a + b}} = \frac{{2a}}{{a + c}}\\\frac{{2b}}{{a + b}} = \frac{b}{{2\left( {b + c} \right)}}\\\frac{c}{{2\left( {b + c} \right)}} = \frac{{2c}}{{a + c}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a + b = 8b\\a + c = 8c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a = 7b\\a = 7c\end{array} \right.\)

\(ab + bc + ac = 1 \Leftrightarrow 7{b^2} + {b^2} + 7{b^2} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{{15}} \Leftrightarrow b = \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow y = \frac{3}{{\sqrt {15} }}\\c = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow z = \frac{4}{{\sqrt {15} }}\\a = \frac{7}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow x = \frac{{14}}{{\sqrt {15} }}\end{array} \right.\).

a) \[A = \left( {\frac{{x + 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]                                 ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\)

                = \[\left( {\frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}} + \frac{2}{{\sqrt x (\sqrt x  - )}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]

                = \[\left( {\frac{{x + 2}}{{(\sqrt x  - 1)\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{1}} \right)\]

                = \[\frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\]

b) \(A = 3 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = 3\)

                \( \Leftrightarrow x + 2 = 3\sqrt x \)

                \( \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  + 2 = 0\)

                \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(l)\\x = 4(n)\end{array} \right.\]

        Vậy A = 3 khi x = 4.