1. Cho \(\Delta ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, từ đó suy ra KF.KE = KB.KC.

b) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng.

2. Một chi tiết máy gồm hai nửa hình cầu bằng nhau và một hình trụ (hình vẽ). Hãy tính thể tích của chi tiết máy đó theo các kích thước cho trên hình vẽ.

1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d)

\[{x^2} = (m + 1)x - m + 5\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 5 = 0\](*)

Ta có \[\Delta  = {(m + 1)^2} - 4(m - 5)\]

\[ = {m^2} - 2m + 21\]

\[ = {(m - 1)^2} + 20 > 0\]

Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Theo hệ thức vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)

        (*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = m(x - 1)\)

Xét \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow x - \frac{5}{{x - 1}} = m\)  (1)

Vì \({x_1};{x_2} \in Z\)nên \(m + 1\) và \(m - 5\) là các số nguyên do đó \(m\)cũng là số nguyên

Từ (1) ta có 

  \(m \in Z\) khi \(\left( {x - \frac{5}{{x - 1}}} \right) \in Z\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \in Z\\5 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(m =  - 3;m = 5\)

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 =  - 5 \Leftrightarrow x =  - 4 \Rightarrow m =  - 3\\x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow m =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  - 3;m = 5\) thỏa yêu cầu bài toán

2) \[{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 16{y^2} + 12x - 16y + 4 = 0\]

            \[ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} - 3{x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 4x + 8x + 8 = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \[ \Leftrightarrow (x + 1){x^3} + 3{x^2}(x + 1) + 4x(x + 1) + 8(x + 1) = 16{y^2} + 16y + 4\]

            \( \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} - 3{x^2} + 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2}({x^2} - 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)

Vì \(y \in z \Rightarrow 4y + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1\)

Vì \(x,y \in z\) nên \({(x + 1)^2}\) và \({(4y + 2)^2}\) là số chính phương khác 0 nên \(({x^2} - 4x + 8)\) cũng là số chính phương

Đặt \({x^2} - 4x + 8 = m\) \((m \in {N^*})\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + 4 = {m^2}\)

            \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} - {m^2} =  - 4\)

            \( \Leftrightarrow (x - 2 - m)(x - 2 + m) =  - {4^{(*)}}\)

Do \(x - 2 - m < x - 2 + m\)

Nên\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 4\\x - 2 + m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 2\\x - 2 + m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m =  - 1\\x - 2 + m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

 \(x =  - 2 \Rightarrow {(4y + 2)^2} = 4\) \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y + 2 = 2\\4y + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y = 0\\4y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (– 2; 0); (– 2; – 1).

a) \[A = \left( {\frac{{x + 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]                                 ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\)

                = \[\left( {\frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}} + \frac{2}{{\sqrt x (\sqrt x  - )}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]

                = \[\left( {\frac{{x + 2}}{{(\sqrt x  - 1)\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{1}} \right)\]

                = \[\frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\]

b) \(A = 3 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = 3\)

                \( \Leftrightarrow x + 2 = 3\sqrt x \)

                \( \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  + 2 = 0\)

                \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(l)\\x = 4(n)\end{array} \right.\]

        Vậy A = 3 khi x = 4.