Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long có đáp án

Với \(x > 0;x \ne 4\), ta có:

\[P = \left( {\frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{x\sqrt x  - 8}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x }}\]

\( = \left[ {\frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}} \right].\sqrt x \)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\sqrt x  = \frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 4}}.\)

Ta có

\(x = 14 + 6\sqrt 5  = 9 + 2.3.\sqrt 5  + 5 = {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}}  = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| = 3 + \sqrt 5 .\)

Khi đó, ta có: \(P = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{14 + 6\sqrt 5  + 2.\left( {3 + \sqrt 5 } \right) + 4}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{24 + 8\sqrt 5 }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{8.\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{1}{8}.\)

b) \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}}  = \sqrt {\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}} \)

\( = \frac{1}{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right|}} - \frac{1}{{\left| {\sqrt 2  + 1} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2  + 1}} = 2\) (vì \(\sqrt 2  - 1 > 0\) )

Ta có \[\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4(m - 3) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)

Theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

 \(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3\)\( =  - {m^2} + 10m - 19\)

\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\,\,\forall m\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa điều kiện \(m \ne 4\))

Vậy \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(Max\,A = 6\) khi \(m = 5\).

Ta có \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {2x - 1}  = 5\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3x - 2 + 2\sqrt {(x - 1)(2x - 1)}  = 25\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = 27 - 3x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 9\\4(2{x^2} - 3x + 1) = {(27 - 3x)^2}\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 9\\{x^2} - 150x + 725 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 5\).

b) Hệ đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}({x^2} + 3x)(2x + y) = 30\\{x^2} + 3x + 2x + y = 13\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} + 3x\) và \(2x + y\) là 2 nghiệm của phương trình \({t^2} - 13t + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 10\,\,\\2x + y = 3\,\,\,\end{array} \right.\,(I)\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 3\,\\2x + y = 10\,\,\end{array} \right.(II)\)

Giải (I): \[{x^2} + 3x = 10 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y =  - 1\\x =  - 5 \Rightarrow y = 13\end{array} \right.\]

Giải (II):\({x^2} + 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = 13 - \sqrt {21} \\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = 13 + \sqrt {21} \end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm \(\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2};13 - \sqrt {21} } \right)\);\(\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};13 + \sqrt {21} } \right)\);\(\left( {2; - 1} \right)\);\(\left( { - 5;13} \right)\).

a) Với 2 số nguyên dương \[a,b\] bất kì ta có: \({a^{2023}} + {b^{2023}} \vdots (a + b)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\left[ {{1^{2023}} + {{2021}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\2\left[ {{2^{2023}} + {{2020}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\...\\2\left[ {{{1010}^{2023}} + {{1012}^{2023}}} \right] \vdots 2022\end{array}\)

Và \({2.1011^{2023}} \vdots 2022\) ; \({2022^{2023}} \vdots 2022\)

Suy ra \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right) \vdots 2022\)

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\) (1)

\(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\left( {4 - {y^2}} \right)\)

Mà \(2{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow 5\left( {4 - {y^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le 4 \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {1;4} \right\}\)

+ \({y^2} = 1\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\)

+ \({y^2} = 4\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: \[\left( {2,1} \right);\left( {2, - 1} \right);\left( { - 4,1} \right);\left( { - 4, - 1} \right)\].