a) Giải phương trình \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {2x - 1}  = 5\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x(x + 3)(2x + y) = 30\\{x^2} + 5x + y = 13\end{array} \right.\) .       

Cho phương trình \({x^2} + (m - 2)x + m - 3 = 0\) (\[x\] là ẩn số, \[m\]là tham số). Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho hai số thực không âm \[a\], \[b\].

a) Chứng minh \[a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \].

b)  Biết \[{a^2} + {b^2} = 6\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 2}}\].

a) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{x\sqrt x  - 8}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) và\(x \ne 4\). Rút gọn biểu thức \(P\) và tìm giá trị của \(P\) tại \(x = 14 + 6\sqrt 5 \).

b) Tính giá trị biểu thức \(\frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } }} - \frac{{\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } }}\).

a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng \[A\] chia hết cho \[2022\].

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\).

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng \[AO\](\(H \ne A\), \(H \ne O\)). Qua \[H\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[AB\], đường thẳng này cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[C\] và \[D\]. Hai đường thẳng \[BC\] và \[AD\] cắt nhau tại\[M\]. Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] trên đường thẳng \[AB\].

a) Chứng minh \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\] .

b) Chứng minh \(C{H^2} = NH.OH\).

c) Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn (O) cắt \[NC\] tại\[E\]. Chứng minh đường thẳng \[EB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[CH\].

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), trên dây cung \(DC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DC = 3DE\), đường thẳng \(AE\) cắt cung nhỏ \(DC\) tại \(M\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(DC\), vẽ \(OH\) vuông góc với \(DM\) tại \(H\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(AE\) và \[DI\] theo \[R\].