a) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{x\sqrt x - 8}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) và\(x \ne 4\). Rút gọn biểu thức \(P\) và tìm giá trị của \(P\) tại \(x = 14 + 6\sqrt 5 \).
b) Tính giá trị biểu thức \(\frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } }} - \frac{{\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } }}\).
a) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{x\sqrt x - 8}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) và\(x \ne 4\). Rút gọn biểu thức \(P\) và tìm giá trị của \(P\) tại \(x = 14 + 6\sqrt 5 \).
b) Tính giá trị biểu thức \(\frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } }} - \frac{{\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } }}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \(x > 0;x \ne 4\), ta có:
\[P = \left( {\frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{x\sqrt x - 8}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x }}\]
\( = \left[ {\frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}} \right].\sqrt x \)
\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\sqrt x = \frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 4}}.\)
Ta có
\(x = 14 + 6\sqrt 5 = 9 + 2.3.\sqrt 5 + 5 = {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| = 3 + \sqrt 5 .\)
Khi đó, ta có: \(P = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{14 + 6\sqrt 5 + 2.\left( {3 + \sqrt 5 } \right) + 4}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{24 + 8\sqrt 5 }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{8.\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{1}{8}.\)
b) \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}} = \sqrt {\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}} - \sqrt {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}} \)
\( = \frac{1}{{\left| {\sqrt 2 - 1} \right|}} - \frac{1}{{\left| {\sqrt 2 + 1} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} = 2\) (vì \(\sqrt 2 - 1 > 0\) )
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4(m - 3) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)
Theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)
\(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3\)\( = - {m^2} + 10m - 19\)
\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\,\,\forall m\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa điều kiện \(m \ne 4\))
Vậy \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(Max\,A = 6\) khi \(m = 5\).
Lời giải
a) Ta có: \[2ab \le {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \].
b) \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 2}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{a + b + 2}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4 - 2}}{{a + b + 2}} = a + b - 2 - \frac{2}{{a + b + 2}}\]
\[a + b \le 2\sqrt 3 \Rightarrow a + b + 2 \le 2 + 2\sqrt 3 \]\[ \Rightarrow \frac{2}{{a + b + 2}} \ge \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}\]
Vậy \[P \le 2\sqrt 3 - 2 - \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\].
Dấu xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 6\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \].
Vậy \[Ma{\rm{x}}\,P = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\] khi \[a = b = \sqrt 3 \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập