Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), trên dây cung \(DC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DC = 3DE\), đường thẳng \(AE\) cắt cung nhỏ \(DC\) tại \(M\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(DC\), vẽ \(OH\) vuông góc với \(DM\) tại \(H\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(AE\) và \[DI\] theo \[R\].
Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), trên dây cung \(DC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DC = 3DE\), đường thẳng \(AE\) cắt cung nhỏ \(DC\) tại \(M\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(DC\), vẽ \(OH\) vuông góc với \(DM\) tại \(H\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(AE\) và \[DI\] theo \[R\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(AD = R\sqrt 2 \); \(DE = \frac{{R\sqrt 2 }}{3}\); \(AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}} = \sqrt {2{R^2} + \frac{{2{R^2}}}{9}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}R\) .
Tam giác \[DOM\] cân tại \[O\] mà \[OH \bot DM\]
Suy ra
\[ \Rightarrow DH = \frac{{R\sqrt {10} }}{{10}}\] \[ \Rightarrow DM = \frac{{R\sqrt {10} }}{5}\]
Ta có (g-g) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{CE}} = \frac{{DE}}{{AE}} = \frac{{MD}}{{AC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{AE}}.\frac{{DE}}{{CE}} = \frac{{M{D^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{10}}\) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{AE}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{{ME}}{{AM}} = \frac{1}{6}\)
\(EI{\rm{//}}AB \Rightarrow \frac{{EI}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{AM}} = \frac{1}{6}\) \( \Rightarrow EI = \frac{1}{6}AB = \frac{{R\sqrt 2 }}{6}\)\( \Rightarrow DI = DE + EI = \frac{{R\sqrt 2 }}{3} + \frac{{R\sqrt 2 }}{6} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4(m - 3) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)
Theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)
\(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3\)\( = - {m^2} + 10m - 19\)
\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\,\,\forall m\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa điều kiện \(m \ne 4\))
Vậy \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(Max\,A = 6\) khi \(m = 5\).
Lời giải
![Cho đường tròn (O) đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/blobid1-1767968864.png)
a) Tứ giác \[MNAC\] có \[\widehat {MNA} + \widehat {MCA} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]
nên \[MNAC\] là tứ giác nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMN}\].
b) Ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\]
\[\widehat {AMN} = \widehat {ADC}\] (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB)
\[AB \bot CD\] suy ra \[H\] là trung điểm của \[CD\].
Tam giác \[ACD\] là tam giác cân do \[AH\] vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.
Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\]. Từ đó ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {ACD}\].
Ta có: \[\widehat {NCO} = \widehat {ACN} + \widehat {ACO} = \widehat {ACD} + \widehat {OAC = }{90^O}\]. Suy ra \[CN \bot CO\].
\( \Rightarrow \Delta NCO\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow C{H^2} = NH.OH\).
c) \[\widehat {ACE} = \widehat {EAC}\] (cùng bằng ).\( \Rightarrow \) \[\Delta AEC\] cân tại \[E\] \[ \Rightarrow E\] thuộc đường trung trực của\[AC\]. Gọi \[F = AE \cap BM\]
Ta có \[C\] thuộc đường tròn đường kính\[FA\]. Nên đường trung trực của \[AC\] phải cắt đường kính \[FA\] tại tâm của đường tròn này. Suy ra \[E\] là trung điểm của\[FA\].
Gọi \[K = CH \cap BE\]. Ta có: \[CH//FA\] nên \[\frac{{CK}}{{FE}} = \frac{{KH}}{{EA}}\left( { = \frac{{BK}}{{BE}}} \right)\].
Mà \[FE = EA\] nên \[CK = KH\]. Vậy \[BE\] đi qua trung điểm của \[CH\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập