Câu hỏi:

09/01/2026 44 Lưu

a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng \[A\] chia hết cho \[2022\].

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Với 2 số nguyên dương \[a,b\] bất kì ta có: \({a^{2023}} + {b^{2023}} \vdots (a + b)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\left[ {{1^{2023}} + {{2021}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\2\left[ {{2^{2023}} + {{2020}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\...\\2\left[ {{{1010}^{2023}} + {{1012}^{2023}}} \right] \vdots 2022\end{array}\)

\({2.1011^{2023}} \vdots 2022\) ; \({2022^{2023}} \vdots 2022\)

Suy ra \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right) \vdots 2022\)

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\) (1)

\(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\left( {4 - {y^2}} \right)\)

\(2{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow 5\left( {4 - {y^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le 4 \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {1;4} \right\}\)

+ \({y^2} = 1\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\)

+ \({y^2} = 4\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: \[\left( {2,1} \right);\left( {2, - 1} \right);\left( { - 4,1} \right);\left( { - 4, - 1} \right)\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn (ảnh 1)

Ta có \(AD = R\sqrt 2 \); \(DE = \frac{{R\sqrt 2 }}{3}\); \(AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}} = \sqrt {2{R^2} + \frac{{2{R^2}}}{9}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}R\) .

Tam giác \[DOM\] cân tại \[O\]\[OH \bot DM\]

Suy ra

\[ \Rightarrow DH = \frac{{R\sqrt {10} }}{{10}}\] \[ \Rightarrow DM = \frac{{R\sqrt {10} }}{5}\]

Ta có  (g-g) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{CE}} = \frac{{DE}}{{AE}} = \frac{{MD}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{AE}}.\frac{{DE}}{{CE}} = \frac{{M{D^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{10}}\) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{AE}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{{ME}}{{AM}} = \frac{1}{6}\)

\(EI{\rm{//}}AB \Rightarrow \frac{{EI}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{AM}} = \frac{1}{6}\) \( \Rightarrow EI = \frac{1}{6}AB = \frac{{R\sqrt 2 }}{6}\)\( \Rightarrow DI = DE + EI = \frac{{R\sqrt 2 }}{3} + \frac{{R\sqrt 2 }}{6} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Cho đường tròn (O) đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng (ảnh 1)

a) Tứ giác \[MNAC\]\[\widehat {MNA} + \widehat {MCA} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]

nên \[MNAC\] là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMN}\].

b) Ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\]

\[\widehat {AMN} = \widehat {ADC}\] (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB)

\[AB \bot CD\] suy ra \[H\] là trung điểm của \[CD\].

Tam giác \[ACD\] là tam giác cân do \[AH\] vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.

Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\]. Từ đó ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {ACD}\].

Ta có: \[\widehat {NCO} = \widehat {ACN} + \widehat {ACO} = \widehat {ACD} + \widehat {OAC = }{90^O}\]. Suy ra \[CN \bot CO\].

\( \Rightarrow \Delta NCO\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow C{H^2} = NH.OH\).

c) \[\widehat {ACE} = \widehat {EAC}\] (cùng bằng ).\( \Rightarrow \) \[\Delta AEC\] cân tại \[E\] \[ \Rightarrow E\] thuộc đường trung trực của\[AC\]. Gọi \[F = AE \cap BM\]

Ta có \[C\] thuộc đường tròn đường kính\[FA\]. Nên đường trung trực của \[AC\] phải cắt đường kính \[FA\] tại tâm của đường tròn này. Suy ra \[E\] là trung điểm của\[FA\].

Gọi \[K = CH \cap BE\]. Ta có: \[CH//FA\] nên \[\frac{{CK}}{{FE}} = \frac{{KH}}{{EA}}\left( { = \frac{{BK}}{{BE}}} \right)\].

\[FE = EA\] nên \[CK = KH\]. Vậy \[BE\] đi qua trung điểm của \[CH\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP