Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng \[AO\](\(H \ne A\), \(H \ne O\)). Qua \[H\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[AB\], đường thẳng này cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[C\] và \[D\]. Hai đường thẳng \[BC\] và \[AD\] cắt nhau tại\[M\]. Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] trên đường thẳng \[AB\].
a) Chứng minh \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\] .
b) Chứng minh \(C{H^2} = NH.OH\).
c) Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn (O) cắt \[NC\] tại\[E\]. Chứng minh đường thẳng \[EB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[CH\].
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng \[AO\](\(H \ne A\), \(H \ne O\)). Qua \[H\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[AB\], đường thẳng này cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[C\] và \[D\]. Hai đường thẳng \[BC\] và \[AD\] cắt nhau tại\[M\]. Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] trên đường thẳng \[AB\].
a) Chứng minh \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\] .
b) Chứng minh \(C{H^2} = NH.OH\).
c) Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn (O) cắt \[NC\] tại\[E\]. Chứng minh đường thẳng \[EB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[CH\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho đường tròn (O) đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/blobid1-1767968864.png)
a) Tứ giác \[MNAC\] có \[\widehat {MNA} + \widehat {MCA} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]
nên \[MNAC\] là tứ giác nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMN}\].
b) Ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\]
\[\widehat {AMN} = \widehat {ADC}\] (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB)
\[AB \bot CD\] suy ra \[H\] là trung điểm của \[CD\].
Tam giác \[ACD\] là tam giác cân do \[AH\] vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.
Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\]. Từ đó ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {ACD}\].
Ta có: \[\widehat {NCO} = \widehat {ACN} + \widehat {ACO} = \widehat {ACD} + \widehat {OAC = }{90^O}\]. Suy ra \[CN \bot CO\].
\( \Rightarrow \Delta NCO\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow C{H^2} = NH.OH\).
c) \[\widehat {ACE} = \widehat {EAC}\] (cùng bằng ).\( \Rightarrow \) \[\Delta AEC\] cân tại \[E\] \[ \Rightarrow E\] thuộc đường trung trực của\[AC\]. Gọi \[F = AE \cap BM\]
Ta có \[C\] thuộc đường tròn đường kính\[FA\]. Nên đường trung trực của \[AC\] phải cắt đường kính \[FA\] tại tâm của đường tròn này. Suy ra \[E\] là trung điểm của\[FA\].
Gọi \[K = CH \cap BE\]. Ta có: \[CH//FA\] nên \[\frac{{CK}}{{FE}} = \frac{{KH}}{{EA}}\left( { = \frac{{BK}}{{BE}}} \right)\].
Mà \[FE = EA\] nên \[CK = KH\]. Vậy \[BE\] đi qua trung điểm của \[CH\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4(m - 3) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)
Theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)
\(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3\)\( = - {m^2} + 10m - 19\)
\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\,\,\forall m\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa điều kiện \(m \ne 4\))
Vậy \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(Max\,A = 6\) khi \(m = 5\).
Lời giải
a) Ta có: \[2ab \le {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \].
b) \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 2}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{a + b + 2}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4 - 2}}{{a + b + 2}} = a + b - 2 - \frac{2}{{a + b + 2}}\]
\[a + b \le 2\sqrt 3 \Rightarrow a + b + 2 \le 2 + 2\sqrt 3 \]\[ \Rightarrow \frac{2}{{a + b + 2}} \ge \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}\]
Vậy \[P \le 2\sqrt 3 - 2 - \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\].
Dấu xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 6\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \].
Vậy \[Ma{\rm{x}}\,P = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\] khi \[a = b = \sqrt 3 \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập