Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 25

1)Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:     

  \({f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\%  = 13,33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\%  = 30\% \)

\({f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\%  = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\%  = 16,67\% \)

 2) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

3)

\[P = \frac{{\sqrt 4  + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\] 

 Vậy \[x = 4\] thì \[P = \frac{5}{3}\]

\[2)\] Với \[x \ge 0;x \ne 9\] Ta có

\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\end{array}\]

\[Q = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

2)    Ta có \[A = P.Q = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\]

Để \[A \ge 2\]thì \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 2\] suy ra \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} - 2 \ge 0\]  suy ra \[\frac{{ - \sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 0\]

 Suy ra \[ - \sqrt x  + 2 \ge 0\] (Vì \[\sqrt x  + 3 > 0\]\[\forall x > 0,x \ne 9\])

\[ - \sqrt x  \ge  - 2\] suy ra \[\sqrt x  \le 2\] thì \[x \le 4\]

Kết hợp với điều kiện \[x > 0,x \ne 9\] và \[x \in \mathbb{Z}\]

Vậy \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\]thì \[A \ge 2\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3y\end{array} \right.\]     \[\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3.2 = 6\end{array} \right.\]    \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy \[x = 3;y = 2\] thỏa mân yêu cầu bài toán.

(ĐK x \( \in {N^*}\))

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là \[3000\] (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là   \(\frac{{3000}}{x}\) (ngày)

*Thực tế:

-        \[8\] ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là  \[8x\] (sản phẩm)

-        Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là \[3000 - 8x\] (sp)

-        Năng xuất làm trong những ngày còn lại là \[x + 10\] (tấm / ngày)

-        Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là \(\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

\(\frac{{3000}}{x} - \left( {\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 8} \right) = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - 8 = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 2 + 8 = 10\)

\(\frac{{3000\left( {x + 10} \right) - x.\left( {3000 - 8x} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{10x.\left( {x + 10} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}}\)

\(3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x\)

\(10{x^2} - 8{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\(2{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\({x^2} + 50x - 15000 = 0\)

\(\left( {x - 100} \right).\left( {x + 150} \right) = 0\)

\[x = 100\] (tmđk) hoặc \[x =  - 150\] ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình \[2{x^2} - 3x - 1 = 0\] (1)  có \[a = 2,b =  - 3,c =  - 1\]

Do \[a.c =  - 2 < 0\] nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}{x_2}\]

Áp dụng hệ thức viete có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\]

Do đó \[A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 2}}{{{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]\[ = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2} + 1}}\]\[ = \frac{{\frac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \frac{5}{4}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}\]