Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 21

a) Liệt kê các giá trị khác nhau ta được: \(1150;{\rm{ }}1160;{\rm{ }}1170;{\rm{ }}1180;{\rm{ }}1190\)

Với mỗi giá trị khác nhau, ta đếm xem giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần trong bảng.

Bảng phân bố tần số:

Tần số tương đối của các giá trị lần lượt là:

\({f_1} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\% \); \({f_2} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\% \); \({f_3} = \frac{{12.100}}{{30}} = 40\% \);

\({f_4} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\% \); \({f_5} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\% \)

Vì vậy, bảng tần số tương đối của mẫu số liệu đã cho được nêu trong Bảng sau.

b) Số bóng đèn có tuổi thọ từ \(1160\) đến \(1180\) chiếm số phần trăm là:

\(20\%  + 40\%  + 20\%  = 80\% \)

Vậy nhận định “Có trên \(75\% \) bóng đèn có tuổi thọ từ \(1160\) đến \(1180\)” là đúng.

Xét phép thử “Tung một đồng tiền xu liên tiếp ba lần”. Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Có 8 khả năng có thể xảy ra là: SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SNN; NSN; NNS.

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}.\)

Có \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

a) Thay \[x = 25\] (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(N\), ta có \(N = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}\).

Vậy với \[x = 25\] thì giá trị của biểu thức \(N = \frac{6}{5}\).

b) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\)

\[M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

+) Có \[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]; \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) mà \[S = M.N\]

Nên \[S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{2}{{x - 1}}\].

Vậy \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] khi \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

c) Có \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] (\[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\]). Mà \[S <  - 1\] nên có \[\frac{2}{{x - 1}} <  - 1\].

Do đó: \(\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0\) hay \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0\) (1)

Vì \(x > 0\) nên \(x + 1 > 0\)                   (2)

Từ (1) (2), ta có: \(x - 1 < 0\) nên \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\] ta có: \(0 < x < 1\).

Vậy \(0 < x < 1\) thì \(S <  - 1\).

Gọi \[a\] (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ \[\left( {a > 0} \right)\]

Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\)

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có \(S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\) hay \(a = 5\).

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) khi độ dài cạnh đáy là \(5{\rm{d}}m\).

Gọi \[x\] là số tiền đôi giầy lúc chưa giảm giá (\(x > 0;\) đồng)

Gọi \[y\] là số cà vạt lúc chưa giảm giá (\(y > 0;\) đồng)

Theo bài ra:

+)  Số tiền mua mỗi đôi giầy gấp \[11\] lần tiền mua mỗi chiếc cà vạt không giảm giá nên ta có phương trình \[x = 11y\] (1)

+) Vì giảm giá \[18\% \] cho mỗi đôi giầy và \[20\% \] cho mỗi chiếc cà vạt nên số tiền cần phải trả để mua giầy là \(\left( {100 - 18} \right)\% x = 0,82x\) (đồng) và số tiền cần trả để mua cà vạt là \(\left( {100 - 20} \right)\% y = 0,8y\) (đồng). Bạn Duy đã dùng \[834{\rm{ }}700\] đồng nên ta có phương trình: \(0,82x + 0,8y = 834{\rm{ }}700\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11y\\0,82x + 0,8y = 834\,700\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \[x = 935{\rm{ }}000;{\rm{ }}y = 85{\rm{ }}000\]

Do đó khi chưa giảm giá số tiền mua đôi giầy và cà vạt là:

\[935{\rm{ }}000 + 85{\rm{ }}000 = 1{\rm{ 020 000}}\] đồng

Vậy với số tiền 1 025 000 đồng bạn Duy đủ tiền mua nên bạn nhẩm chưa đúng.