Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Kiên Giang có đáp án

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

 \(\begin{array}{l}A = \frac{{x(\sqrt x - 2) + 2(\sqrt x - 1) + (2x - x\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{x\sqrt x - 2x + 2\sqrt x - 2 + 2x - x\sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{{2(\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

b) 

Ta có \(x = 3 + 2\sqrt 2 = {(\sqrt 2 + 1)^2}\)

Do đó: \(A = \frac{2}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} - 1}} = \frac{2}{{\sqrt 2 + 1 - 1}} = \sqrt 2 \).

Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), \(a,b\) là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{\frac{a}{3} + \frac{1}{{a + 2}} = - a\,\,(2)}\\{\frac{a}{3} \cdot \frac{1}{{a + 2}} = b\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\]

Với \(a\) thỏa mãn (1) ta có \({\rm{ (2) }} \Leftrightarrow 4{a^2} + 8a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2},a = - \frac{3}{2}\)

Thay \(a = \frac{{ - 1}}{2}\) vào (3) ta được \(b = \frac{{ - 1}}{9}\)

Thay \(a = \frac{{ - 3}}{2}\) vào (3) ta được \(b = - 1\).

Vậy có tất cả hai cặp số thực \(a,b\) thỏa mãn yêu cầu là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{9}} \right),\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - 1} \right)\).

Điều kiện: \(x \ge  - 1\) và \(y \le 16\). (1)

Với điều kiện đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 2y)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2y}\\{\sqrt {2y + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{ (3) }} \Leftrightarrow (\sqrt {2y + 1}  - 5) - (\sqrt {16 - y}  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2(y - 12)}}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{{y - 12}}{{\sqrt {16 - y}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow (y - 12)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{1}{{\sqrt {16 - y}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 12.\end{array}\)

Thay \(y = 12\) vào (2), ta được \(x = 24\).

Cặp số \(\left( {x,y} \right) = \left( {24,12} \right)\) thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.