Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Kiên Giang có đáp án

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

 \(\begin{array}{l}A = \frac{{x(\sqrt x - 2) + 2(\sqrt x - 1) + (2x - x\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{x\sqrt x - 2x + 2\sqrt x - 2 + 2x - x\sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{{2(\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

b) 

Ta có \(x = 3 + 2\sqrt 2 = {(\sqrt 2 + 1)^2}\)

Do đó: \(A = \frac{2}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} - 1}} = \frac{2}{{\sqrt 2 + 1 - 1}} = \sqrt 2 \).

Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), \(a,b\) là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{\frac{a}{3} + \frac{1}{{a + 2}} = - a\,\,(2)}\\{\frac{a}{3} \cdot \frac{1}{{a + 2}} = b\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\]

Với \(a\) thỏa mãn (1) ta có \({\rm{ (2) }} \Leftrightarrow 4{a^2} + 8a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2},a = - \frac{3}{2}\)

Thay \(a = \frac{{ - 1}}{2}\) vào (3) ta được \(b = \frac{{ - 1}}{9}\)

Thay \(a = \frac{{ - 3}}{2}\) vào (3) ta được \(b = - 1\).

Vậy có tất cả hai cặp số thực \(a,b\) thỏa mãn yêu cầu là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{9}} \right),\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - 1} \right)\).

Điều kiện: \(x \ge  - 1\) và \(y \le 16\). (1)

Với điều kiện đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 2y)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2y}\\{\sqrt {2y + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{ (3) }} \Leftrightarrow (\sqrt {2y + 1}  - 5) - (\sqrt {16 - y}  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2(y - 12)}}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{{y - 12}}{{\sqrt {16 - y}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow (y - 12)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{1}{{\sqrt {16 - y}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 12.\end{array}\)

Thay \(y = 12\) vào (2), ta được \(x = 24\).

Cặp số \(\left( {x,y} \right) = \left( {24,12} \right)\) thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

a)Vì \(m,\,p\) là các số nguyên tố nên \(mp \ge 4\). Do đó, \(r \ge 5\). Mà \(r\) là nguyên tố nên r là số lẻ.

Vì thế, \(mp = r - 1\) là một số chẵn. Suy ra, trong hai số \(m,\,p\), có ít nhất một số bằng 2.

- Nếu \(m = 2\) thì \(r = 2p + 1\). Do đó:

\({p^2} + r = {p^2} + 2p + 1 = {\left( {p + 1} \right)^2}\),

Là một số chính phương.

- Nếu \(p = 2\) thì \(r = 2m + 1\). Do đó

\({m^2} + r = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\) là một số chính phương