Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

\(\sqrt {x + y + z}  \ge \sqrt {x - 2021}  + \sqrt {y - 2021}  + \sqrt {z - 2021} \).

Cho biểu thức \[A = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2x - x\sqrt x  - 2}}{{x - 3\sqrt x  + 2}}\] (với \(x \ge 0,x \ne 1\), và \(x \ne 4\))

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A tại \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 8. Trên cạnh \(BC\), lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = 5\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(CD\) và đường thẳng vuông góc với \(AM\) tại \(A\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\). Hãy tính độ dài đoạn thẳng \(DI\).

Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\), sao cho \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù. Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm thứ hai \(B\) (khác \(A\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_1}} \right)\) tại điểm thứ hai \(D\) (khác \(A\)).

Giải hệ phương trình sau:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1} - \sqrt {16 - y} = 3}\end{array}} \right.\]

Có bốn căn phòng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con chuột trốn trong các căn phòng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phòng. Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn phòng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phòng nằm ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay không? Vì sao?

Tìm tất cả các số thực \(a,b\) sao cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + ax + b = 0\) có hai nghiệm là \(\frac{a}{3}\) và \(\frac{1}{{a + 2}}\).