Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:
\(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:
\(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ giả thuyết đề bài suy ra \(\frac{{2021}}{x} + \frac{{2021}}{y} + \frac{{2021}}{z} = 2\)
Do đó \(\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z} = 3 - 2 = 1\)
Suy ra \(x + y + z = (x + y + z)\left( {\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z}} \right)\) (*)
Do \(x,y,z > 2021\) nên \(x - 2021,y - 2021,z - 2021 > 0\). Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ,\sqrt y ,\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }},\frac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\frac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\), từ (*) ta được:
\(x + y + z \ge {(\sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} )^2}\)
Do đó, \(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
(Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z = \frac{{6063}}{2}\)).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét hai tam giác vuông \(ABM\) và \(ADN\), ta có:
\(AB = AD\),\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Do đó tam giác \(\Delta ABM = \Delta ADN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, \(DN = BM\) (1).
Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(ID\) cắt \(NC\) tại \[E\].
Xét tam giác \(MNE\):
Do \(I\) là trung điểm của \(MN\) và \(ID\,{\rm{//}}\,ME\), nên \(D\) là trung điểm của \(NE\). Vì thế \(DE = DN = BM\) (theo (1)). Suy ra, \(MC = CE\) (2)
Do \(I,D\) tương ứng là trung điểm của \(MN,\,NE\), nên \(ID\) là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(DI = \frac{1}{2}EM\).
Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:
\(EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} \)(do (2))
\( = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 \).
Vì thế \(DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
a)Với giả thuyết \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù, ta có thế hình như ở trên.
Xét \(\left( {{O_1}} \right)\), ta có:
\(\widehat {AKM} = \widehat {MAB}\) (góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1)
Xét \(\left( {{O_2}} \right)\), ta có:
\(\widehat {MLB} = \widehat {MAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)
Từ (1) và (2), suy ra, \(\widehat {AKM} = \widehat {MLB}\).
Do đó, \(AK\,{\rm{//}}\,LB\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
b)Xét \(\left( {{O_1}} \right)\) ta có:
\(\widehat {MDA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (3)
Xét \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có
\(\widehat {MAD} = \widehat {MBA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4)
Từ (3) và (4), suy ra, .
Do đó, \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\); mà \(MC = MA\)(gt), nên \(\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MC}}\). (5)
Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được:
\(\widehat {DMC} = \widehat {CMB}\) (6)
Từ (5) và (6), suy ra, .
Do đó, \(\widehat {DCM} = \widehat {CBM}\).
Vì thế, ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {DCB} = \widehat {DCM} + \widehat {MCB} = \widehat {CBM} + \widehat {MCB}\\ = 180^\circ - \widehat {BMC} = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MBA})\\ = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MAD})\quad ({\rm{do}}(4))\\ = 180^\circ - \widehat {BAD}\end{array}\)
Suy ra, \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} = 180^\circ \). Do đó, \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập