Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:
\(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:
\(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ giả thuyết đề bài suy ra \(\frac{{2021}}{x} + \frac{{2021}}{y} + \frac{{2021}}{z} = 2\)
Do đó \(\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z} = 3 - 2 = 1\)
Suy ra \(x + y + z = (x + y + z)\left( {\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z}} \right)\) (*)
Do \(x,y,z > 2021\) nên \(x - 2021,y - 2021,z - 2021 > 0\). Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ,\sqrt y ,\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }},\frac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\frac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\), từ (*) ta được:
\(x + y + z \ge {(\sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} )^2}\)
Do đó, \(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).
(Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z = \frac{{6063}}{2}\)).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Xét hai tam giác vuông \(ABM\) và \(ADN\), ta có:
\(AB = AD\),\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Do đó tam giác \(\Delta ABM = \Delta ADN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, \(DN = BM\) (1).
Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(ID\) cắt \(NC\) tại \[E\].
Xét tam giác \(MNE\):
Do \(I\) là trung điểm của \(MN\) và \(ID\,{\rm{//}}\,ME\), nên \(D\) là trung điểm của \(NE\). Vì thế \(DE = DN = BM\) (theo (1)). Suy ra, \(MC = CE\) (2)
Do \(I,D\) tương ứng là trung điểm của \(MN,\,NE\), nên \(ID\) là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(DI = \frac{1}{2}EM\).
Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:
\(EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} \)(do (2))
\( = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 \).
Vì thế \(DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a)Vì \(m,\,p\) là các số nguyên tố nên \(mp \ge 4\). Do đó, \(r \ge 5\). Mà \(r\) là nguyên tố nên r là số lẻ.
Vì thế, \(mp = r - 1\) là một số chẵn. Suy ra, trong hai số \(m,\,p\), có ít nhất một số bằng 2.
- Nếu \(m = 2\) thì \(r = 2p + 1\). Do đó:
\({p^2} + r = {p^2} + 2p + 1 = {\left( {p + 1} \right)^2}\),
Là một số chính phương.
- Nếu \(p = 2\) thì \(r = 2m + 1\). Do đó
\({m^2} + r = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\) là một số chính phương
b)Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương
\[n,\,k\] sao cho \({n^2} + 22q = {11^k}\). (1)
Do \({n^2} + 22q > 11\) nên \({11^k} > 11\); suy ra \(k \ge 2\). Vì thế, từ (1), ta có:
\(\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}\). (2)
Do \(22q \vdots 11\) nên từ (1) suy ra, \({n^2} \vdots 11\); mà 11 là số nguyên tố, nên \({n^2} \vdots {11^2}\). (3)
Từ (2) và (3) suy ra, \(22q \vdots {11^2}\). Do đó, \[q \vdots 11\]; mà \[q\] là số nguyên tố nên \(q = 11\).
Ngược lại, với \(q = 11\), ta có: \({33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}\).
Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là \(q = 11\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập