Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\), sao cho \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù. Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm thứ hai \(B\) (khác \(A\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_1}} \right)\) tại điểm thứ hai \(D\) (khác \(A\)).
a) Trên cung \(AD\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_1}} \right)\), lấy điểm \(K\), khác \(A\) và \(D\), sao cho đường thẳng \(KM\) cắt cung \(AB\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm \(L\), khác \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AK\) song song với đường thẳng \(BL\).
b) Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\), sao cho \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù. Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm thứ hai \(B\) (khác \(A\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_1}} \right)\) tại điểm thứ hai \(D\) (khác \(A\)).
a) Trên cung \(AD\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_1}} \right)\), lấy điểm \(K\), khác \(A\) và \(D\), sao cho đường thẳng \(KM\) cắt cung \(AB\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm \(L\), khác \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AK\) song song với đường thẳng \(BL\).
b) Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Với giả thuyết \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù, ta có thế hình như ở trên.
Xét \(\left( {{O_1}} \right)\), ta có:
\(\widehat {AKM} = \widehat {MAB}\) (góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1)
Xét \(\left( {{O_2}} \right)\), ta có:
\(\widehat {MLB} = \widehat {MAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)
Từ (1) và (2), suy ra, \(\widehat {AKM} = \widehat {MLB}\).
Do đó, \(AK\,{\rm{//}}\,LB\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
b)Xét \(\left( {{O_1}} \right)\) ta có:
\(\widehat {MDA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (3)
Xét \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có
\(\widehat {MAD} = \widehat {MBA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4)
Từ (3) và (4), suy ra, .
Do đó, \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\); mà \(MC = MA\)(gt), nên \(\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MC}}\). (5)
Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được:
\(\widehat {DMC} = \widehat {CMB}\) (6)
Từ (5) và (6), suy ra, .
Do đó, \(\widehat {DCM} = \widehat {CBM}\).
Vì thế, ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {DCB} = \widehat {DCM} + \widehat {MCB} = \widehat {CBM} + \widehat {MCB}\\ = 180^\circ - \widehat {BMC} = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MBA})\\ = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MAD})\quad ({\rm{do}}(4))\\ = 180^\circ - \widehat {BAD}\end{array}\)
Suy ra, \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} = 180^\circ \). Do đó, \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét hai tam giác vuông \(ABM\) và \(ADN\), ta có:
\(AB = AD\),\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Do đó tam giác \(\Delta ABM = \Delta ADN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, \(DN = BM\) (1).
Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(ID\) cắt \(NC\) tại \[E\].
Xét tam giác \(MNE\):
Do \(I\) là trung điểm của \(MN\) và \(ID\,{\rm{//}}\,ME\), nên \(D\) là trung điểm của \(NE\). Vì thế \(DE = DN = BM\) (theo (1)). Suy ra, \(MC = CE\) (2)
Do \(I,D\) tương ứng là trung điểm của \(MN,\,NE\), nên \(ID\) là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(DI = \frac{1}{2}EM\).
Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:
\(EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} \)(do (2))
\( = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 \).
Vì thế \(DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
Câu trả lời là "có". Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự các căn phòng bởi 1,2,3,4. Với mỗi \(k = 1,2,3,4\), gọi căn phòng được đánh số \(k\) là "phòng \(k\)". Trong phần trình bày dưới đây, thứ tự của các ngày được tính từ ngày đầu tiên mèo vào dãy phòng để lùng bắt chuột. Xét lịch trình lùng bắt chuột như sau của mèo:
- Tối ngày 1: Vào phòng 2;
- Tối ngày 2: Vào phòng 3;
- Tối ngày 3: Vào phòng 3;
- Tối ngày 4: Vào phòng 2.
Khi đó, nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 2 hoặc phòng 4, thì mèo sẽ bắt được chuột vào tối ngày 1, hoặc vào tối ngày 2 (bắt được vào tối ngày 1 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng , và bắt được vào tối ngày 2 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng 4).
Nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3, thì nó s thoát được mèo trong hai tối đầu tiên. Tuy nhiên, do sang ngày 3, theo cách trốn của mình, chuột sẽ lại trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3 , nên nó sẽ bị mèo bắt vào tối ngày 3 , hoặc vào tối ngày 4 (bị bắt vào tối ngày 3 , nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 3; và bị bắt vào tối ngày 4, nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 1 ). Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo sẽ bắt được chuột, sau tối đa bốn tối. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bài ra là "có".
Lưu ý: Lịch trình lùng bắt trên đây không phải là lịch trình duy nhất để mèo đạt được mục tiêu đặt ra ở đề bài.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập