a) Cho $m,\,p,\,r$ là các số nguyên tố thỏa mãn $mp + 1 = r$. Chứng minh rằng ${m^2} + r$ hoặc ${p^2} + r$ là số chính phương.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố $q$, sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để ${n^2} + 22q$ là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Kiên Giang có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a)Vì $m,\,p$ là các số nguyên tố nên $mp \ge 4$. Do đó, $r \ge 5$. Mà $r$ là nguyên tố nên r là số lẻ.

Vì thế, $mp = r - 1$ là một số chẵn. Suy ra, trong hai số $m,\,p$, có ít nhất một số bằng 2.

- Nếu $m = 2$ thì $r = 2p + 1$. Do đó:

${p^2} + r = {p^2} + 2p + 1 = {\left( {p + 1} \right)^2}$,

Là một số chính phương.

- Nếu $p = 2$ thì $r = 2m + 1$. Do đó

${m^2} + r = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}$ là một số chính phương

b)Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương

\[n,\,k\] sao cho ${n^2} + 22q = {11^k}$. (1)

Do ${n^2} + 22q > 11$ nên ${11^k} > 11$; suy ra $k \ge 2$. Vì thế, từ (1), ta có:

$\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}$. (2)

Do $22q \vdots 11$ nên từ (1) suy ra, ${n^2} \vdots 11$; mà 11 là số nguyên tố, nên ${n^2} \vdots {11^2}$. (3)

Từ (2) và (3) suy ra, $22q \vdots {11^2}$. Do đó, \[q \vdots 11\]; mà \[q\] là số nguyên tố nên $q = 11$.

Ngược lại, với $q = 11$, ta có: ${33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}$.

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là $q = 11$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức \[A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2x - x\sqrt x - 2}}{{x - 3\sqrt x + 2}}\] (với $x \ge 0,x \ne 1$, và $x \ne 4$)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A tại $x = 3 + 2\sqrt 2 $.

Xem đáp án

Lời giải

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{{x(\sqrt x - 2) + 2(\sqrt x - 1) + (2x - x\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{x\sqrt x - 2x + 2\sqrt x - 2 + 2x - x\sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{{2(\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\end{array}$

Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 = {(\sqrt 2 + 1)^2}$

Do đó: $A = \frac{2}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} - 1}} = \frac{2}{{\sqrt 2 + 1 - 1}} = \sqrt 2 $.

Câu 2

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 8. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $M$ sao cho $BM = 5$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $A$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Hãy tính độ dài đoạn thẳng $DI$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 8. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $M$ sao cho (ảnh 1)$

Xét hai tam giác vuông $ABM$ và $ADN$, ta có:

$AB = AD$,$\widehat {BAM} = \widehat {DAN}$ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Do đó tam giác $\Delta ABM = \Delta ADN$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, $DN = BM$ (1).

Qua $M$ kẻ đường thẳng song song $ID$ cắt $NC$ tại \[E\].

Xét tam giác $MNE$:

Do $I$ là trung điểm của $MN$ và $ID\,{\rm{//}}\,ME$, nên $D$ là trung điểm của $NE$. Vì thế $DE = DN = BM$ (theo (1)). Suy ra, $MC = CE$ (2)

Do $I,D$ tương ứng là trung điểm của $MN,\,NE$, nên $ID$ là đường trung bình của tam giác. Do đó, $DI = \frac{1}{2}EM$.

Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:

$EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} $(do (2))

$ = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 $.

Vì thế $DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Câu 3