Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa có đáp án

a) Ta có: \((a + 2)(b + 2) = 8 \Leftrightarrow 2a + 2b + ab = 4\).

Do đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)}  = \sqrt {2\left( {{a^2} + ab + 2a + 2b} \right)\left( {{b^2} + ab + 2a + 2b} \right)} }\\{ = \sqrt {2{{(a + b)}^2}(a + 2)(b + 2)}  = \sqrt {2{{(a + b)}^2} \cdot 8}  = 4(a + b).}\end{array}\]

Suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - \sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)} }  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - 4(a + b)} }\\{ = 2\sqrt {{{(a + b)}^2} + 8 - 4(a + b) - 2ab}  = 2\sqrt {{{(a + b)}^2}}  = 2(a + b).}\end{array}\)

Khi đó: \(P = ab + 2(a + b) = 4\).

Vậy \(P = 4\).

b) Đặt \(x = a - b,y = b - c,z = c - a \Rightarrow x,y,z \ne 0\) và \(x + y + z = 0\).

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{B = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - \frac{{2(x + y + z)}}{{xyz}}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}}  = \left| {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right|}\end{array}\]

Vì \[a,b,c\]là các số hữu tỷ nên \[x,y,z\]là các số hữu tỉ, do đó \(B\) là số hữu tỷ.

a) Do \[x = 0\]không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương:

\(\begin{array}{l}(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168{x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 168{x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} + 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} + 5} \right) = 168\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{6}{x}} \right)^2} + 12\left( {x + \frac{6}{x}} \right) + 35 = 168\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{6}{x}} \right)^2} + 12\left( {x + \frac{6}{x}} \right) - 133 = 0\end{array}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} - 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} + 19} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 19x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 7x + 6 = 0}\\{{x^2} + 19x + 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 6}\end{array}} \right.} \right.x =  - \frac{{\sqrt {337}  - 19}}{2}.x = \frac{{\sqrt {337}  + 19}}{2}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {1;6;\frac{{\sqrt {337}  - 19}}{2}; - \frac{{\sqrt {337}  + 19}}{2}} \right\}\).

b) Điều kiện \[y > 0\]. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{x - y + \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{{{y^2} + 1}} = 0 \Leftrightarrow x - y - \frac{{(x - y)(x + y)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)}} = 0}\\{ \Leftrightarrow (x - y)\left[ {1 - \frac{{x + y}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) = x + y}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Ta có:

\(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) = x + y \Leftrightarrow {x^2} - x + {y^2} - y + {x^2}{y^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {x^2}{y^2} + \frac{1}{2} = 0\), vô lí.

Do đó trong trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: \((x;y) = (2 + \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 ),(2 - \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )\).

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1 - 2xy - 2x + 2y} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) = 4}\\{ \Leftrightarrow {{(x - y - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4}\\{{\rm{ V\`i  }}x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array}\quad {\rm{ hoac }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}\)

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 4)}^2} = 4}\\{y = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\).

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y + 1}\\{y = 5}\\{y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \((x;y) = (6;3),(2;3),(6;5),(2;1)\).

b) Ta có: \(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3}\) với \(a \ge 0\). Khi đó:

\(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3} \Leftrightarrow p(p - 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right).\)Vì ưcln \((p;p - 1) = 1\) nên \(p(p - 1)\) chia hết cho \((a + 1) \Leftrightarrow p\) chia hết cho \((a + 1)\) hoặc \(p - 1\) chia hết cho \((a + 1)\).

- Xét \(p:(a + 1) \Rightarrow p = k(a + 1)\). Mà \(p\) là số nguyên tố suy ra: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a + 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \(a = 0 \Rightarrow p = 2\).

Nếu \(k = 1 \Rightarrow p = a + 1 \Rightarrow a(a + 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right)\), vô nghiệm.

Xét \(p - 1:(a + 1) \Rightarrow p = m(a + 1) + 1\). Khi đó ta có:

\(m(a + 1)p = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow mp = 2\left( {{a^2} - a + 1} \right){\rm{ }}{\rm{. }}\)Ta có: \({a^2} - a + 1 = a(a - 1) + 1\) là một số lẽ. Suy ra: ưcln \(\left( {2;{a^2} - a + 1} \right) = 1\).

Nên \(2\left( {{a^2} - a + 1} \right):m \Leftrightarrow 2:m\) hoặc \(\left( {{a^2} - a + 1} \right):m\).

Nếu \(2:m \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.\).

Với \(k = 1 \Rightarrow 2\left( {{a^2} - a + 1} \right) = a + 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

Với \(k = 2 \Rightarrow {a^2} - a + 1 = 2(a + 1) + 1 \Leftrightarrow {a^2} - 3a - 1 = 0\), vô nghiệm.

Nếu \({a^2} - a + 1:m \Rightarrow {a^2} - a + 1 = mn\). Khi đó ta có: \(m(a + 1) + 1 = 2n\).

Mặt khác \(p = m(a + 1) + 1 = 2n\) là số nguyên tố suy ra \(p = 2,n = 1 \Rightarrow a = 0\).

Tóm lại \(p = 2\) là số nguyên tố cần tìm.

Đánh số các ô của bảng như hình vẽ.

Theo nguyên lí Dirichle đặt 33 quân cờ vào mỗi ô mà có 8 loại ô là các số được đánh từ 1 đến 8 nên có ít nhất 5 quân cờ cùng một số. Theo bảng này các quân cờ được đặt trong các ô có cùng số thì không chiếu nhau.

Suy ra điều phải chứng minh.