Cho bảng kẻ ô vuông kích thước \(8 \times 8\) gồm có 64 ô vuông con (như hình vẽ bên). Người ta đặt 33 quân cờ vào các ô vuông con của bảng sao cho mỗi ô vuông con có không quá một quân cờ. Hai quân cờ được gọi là "chiếu nhau" nếu chúng nằm cùng một hàng hoặc nằm cùng một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt luôn tồn tại ít nhất 5 quân cờ đôi một không chiếu nhau.

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1 - 2xy - 2x + 2y} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) = 4}\\{ \Leftrightarrow {{(x - y - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4}\\{{\rm{ V\`i  }}x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array}\quad {\rm{ hoac }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}\)

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 4)}^2} = 4}\\{y = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\).

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y + 1}\\{y = 5}\\{y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \((x;y) = (6;3),(2;3),(6;5),(2;1)\).

b) Ta có: \(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3}\) với \(a \ge 0\). Khi đó:

\(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3} \Leftrightarrow p(p - 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right).\)Vì ưcln \((p;p - 1) = 1\) nên \(p(p - 1)\) chia hết cho \((a + 1) \Leftrightarrow p\) chia hết cho \((a + 1)\) hoặc \(p - 1\) chia hết cho \((a + 1)\).

- Xét \(p:(a + 1) \Rightarrow p = k(a + 1)\). Mà \(p\) là số nguyên tố suy ra: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a + 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \(a = 0 \Rightarrow p = 2\).

Nếu \(k = 1 \Rightarrow p = a + 1 \Rightarrow a(a + 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right)\), vô nghiệm.

Xét \(p - 1:(a + 1) \Rightarrow p = m(a + 1) + 1\). Khi đó ta có:

\(m(a + 1)p = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow mp = 2\left( {{a^2} - a + 1} \right){\rm{ }}{\rm{. }}\)Ta có: \({a^2} - a + 1 = a(a - 1) + 1\) là một số lẽ. Suy ra: ưcln \(\left( {2;{a^2} - a + 1} \right) = 1\).

Nên \(2\left( {{a^2} - a + 1} \right):m \Leftrightarrow 2:m\) hoặc \(\left( {{a^2} - a + 1} \right):m\).

Nếu \(2:m \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.\).

Với \(k = 1 \Rightarrow 2\left( {{a^2} - a + 1} \right) = a + 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

Với \(k = 2 \Rightarrow {a^2} - a + 1 = 2(a + 1) + 1 \Leftrightarrow {a^2} - 3a - 1 = 0\), vô nghiệm.

Nếu \({a^2} - a + 1:m \Rightarrow {a^2} - a + 1 = mn\). Khi đó ta có: \(m(a + 1) + 1 = 2n\).

Mặt khác \(p = m(a + 1) + 1 = 2n\) là số nguyên tố suy ra \(p = 2,n = 1 \Rightarrow a = 0\).

Tóm lại \(p = 2\) là số nguyên tố cần tìm.

a) Ta có: \((a + 2)(b + 2) = 8 \Leftrightarrow 2a + 2b + ab = 4\).

Do đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)}  = \sqrt {2\left( {{a^2} + ab + 2a + 2b} \right)\left( {{b^2} + ab + 2a + 2b} \right)} }\\{ = \sqrt {2{{(a + b)}^2}(a + 2)(b + 2)}  = \sqrt {2{{(a + b)}^2} \cdot 8}  = 4(a + b).}\end{array}\]

Suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - \sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)} }  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - 4(a + b)} }\\{ = 2\sqrt {{{(a + b)}^2} + 8 - 4(a + b) - 2ab}  = 2\sqrt {{{(a + b)}^2}}  = 2(a + b).}\end{array}\)

Khi đó: \(P = ab + 2(a + b) = 4\).

Vậy \(P = 4\).

b) Đặt \(x = a - b,y = b - c,z = c - a \Rightarrow x,y,z \ne 0\) và \(x + y + z = 0\).

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{B = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - \frac{{2(x + y + z)}}{{xyz}}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}}  = \left| {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right|}\end{array}\]

Vì \[a,b,c\]là các số hữu tỷ nên \[x,y,z\]là các số hữu tỉ, do đó \(B\) là số hữu tỷ.