Cho hai đường tròn \((O)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn tâm \(O\) cắt đường tròn tâm \(O'\) tại \(P(P \ne A)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn tâm \(O'\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(Q(Q \ne A)\). Gọi \(I\) là điểm sao cho tứ giác \(AOI{O^\prime }\) là hình bình hành và \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\).

a) Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\). Từ đó suy ra tứ giác \(ADPQ\) nội tiếp?

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(PQ\). Chứng minh \(\widehat {ADP} = \widehat {QDM}\).

c) Giả sử hai đường thẳng \[IB\]và \[PQ\] cắt nhau tại \(S\). Gọi \(K\) là giao điểm của \[AD\] và \[PQ\]. Chứng minh:\(\frac{2}{{SK}} = \frac{1}{{SP}} + \frac{1}{{SQ}}\).\(\)

a) Ta có: \((a + 2)(b + 2) = 8 \Leftrightarrow 2a + 2b + ab = 4\).

Do đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)}  = \sqrt {2\left( {{a^2} + ab + 2a + 2b} \right)\left( {{b^2} + ab + 2a + 2b} \right)} }\\{ = \sqrt {2{{(a + b)}^2}(a + 2)(b + 2)}  = \sqrt {2{{(a + b)}^2} \cdot 8}  = 4(a + b).}\end{array}\]

Suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - \sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)} }  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - 4(a + b)} }\\{ = 2\sqrt {{{(a + b)}^2} + 8 - 4(a + b) - 2ab}  = 2\sqrt {{{(a + b)}^2}}  = 2(a + b).}\end{array}\)

Khi đó: \(P = ab + 2(a + b) = 4\).

Vậy \(P = 4\).

b) Đặt \(x = a - b,y = b - c,z = c - a \Rightarrow x,y,z \ne 0\) và \(x + y + z = 0\).

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{B = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - \frac{{2(x + y + z)}}{{xyz}}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}}  = \left| {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right|}\end{array}\]

Vì \[a,b,c\]là các số hữu tỷ nên \[x,y,z\]là các số hữu tỉ, do đó \(B\) là số hữu tỷ.

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1 - 2xy - 2x + 2y} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) = 4}\\{ \Leftrightarrow {{(x - y - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4}\\{{\rm{ V\`i  }}x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array}\quad {\rm{ hoac }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}\)

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 4}\\{{{(y - 3)}^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 4)}^2} = 4}\\{y = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\).

Trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y - 1)}^2} = 0}\\{{{(y - 3)}^2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y + 1}\\{y = 5}\\{y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \((x;y) = (6;3),(2;3),(6;5),(2;1)\).

b) Ta có: \(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3}\) với \(a \ge 0\). Khi đó:

\(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1 = {a^3} \Leftrightarrow p(p - 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right).\)Vì ưcln \((p;p - 1) = 1\) nên \(p(p - 1)\) chia hết cho \((a + 1) \Leftrightarrow p\) chia hết cho \((a + 1)\) hoặc \(p - 1\) chia hết cho \((a + 1)\).

- Xét \(p:(a + 1) \Rightarrow p = k(a + 1)\). Mà \(p\) là số nguyên tố suy ra: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a + 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{a = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \(a = 0 \Rightarrow p = 2\).

Nếu \(k = 1 \Rightarrow p = a + 1 \Rightarrow a(a + 1) = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right)\), vô nghiệm.

Xét \(p - 1:(a + 1) \Rightarrow p = m(a + 1) + 1\). Khi đó ta có:

\(m(a + 1)p = 2(a + 1)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow mp = 2\left( {{a^2} - a + 1} \right){\rm{ }}{\rm{. }}\)Ta có: \({a^2} - a + 1 = a(a - 1) + 1\) là một số lẽ. Suy ra: ưcln \(\left( {2;{a^2} - a + 1} \right) = 1\).

Nên \(2\left( {{a^2} - a + 1} \right):m \Leftrightarrow 2:m\) hoặc \(\left( {{a^2} - a + 1} \right):m\).

Nếu \(2:m \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.\).

Với \(k = 1 \Rightarrow 2\left( {{a^2} - a + 1} \right) = a + 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

Với \(k = 2 \Rightarrow {a^2} - a + 1 = 2(a + 1) + 1 \Leftrightarrow {a^2} - 3a - 1 = 0\), vô nghiệm.

Nếu \({a^2} - a + 1:m \Rightarrow {a^2} - a + 1 = mn\). Khi đó ta có: \(m(a + 1) + 1 = 2n\).

Mặt khác \(p = m(a + 1) + 1 = 2n\) là số nguyên tố suy ra \(p = 2,n = 1 \Rightarrow a = 0\).

Tóm lại \(p = 2\) là số nguyên tố cần tìm.