\[A = \left( {\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{12 + 4\sqrt x }}{{9 - x}}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\]\[ = \left( {\frac{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} + \frac{{12 + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\]

\[ = \frac{{(x - \sqrt x - 12) + 12 + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\]

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\]\[ = 1\]

Câu 4/12

Một công viên quyết định xây dựng một cổng chào nghệ thuật có mặt cắt là một đường Parabol $(P)$. Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], parabol \[(P)\] đó có phương trình $y = - \frac{1}{4}{x^2}$ . Để tạo điểm nhấn, các kỹ sư dự định thiết kế một dải đèn LED nằm ngang nối hai điểm A và B trên vòm cổng với độ dài 6m (như hình vẽ). Hãy vẽ $(P)$ và tính khoảng cách từ dải đèn LED đến đỉnh cổng?

Lời giải

Một công viên quyết định xây dựng một cổng chào nghệ thuật có mặt cắt là một đường Parabol (P). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) đó có phương trình y=−1/4x^2 . Để tạo điểm nhấn, các kỹ sư dự định thiết kế một dải đèn LED (ảnh 2)

Bảng giá trị:

Với AB = 6m, parabol có trục đối xứng là Oy nên \[{x_A} = - 3,{x_B} = 3\]

Thay \[x = 3\] vào $y = - \frac{1}{4}{x^2}$ta được: \[y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2} = \frac{{ - 1}}{4}{.3^2} = - 2,25\]

Vậy \[A\left( { - 3; - 2,25} \right),B\left( {3; - 2,25} \right)\]

Vì \[\left| {{y_A}} \right| = \left| {{y_B}} \right| = 2,25\] nên khoảng cách từ dải đèn LED đến đỉnh cổng bằng 2,25m

Câu 5/12

Cho phương trình ${x^2} + 4x + 1 = 0$. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và tính giá trị của biểu thức$T = \frac{{\sqrt {16x_2^2 - 4{x_1} + 7} + 10{x_1} + 5{x_2} + 20}}{{x_1^3 + 15{x_2} + 64}}$ với \[{x_1} > {x_2}\].

Lời giải

$\Delta ' = {2^2} - 1 \cdot 1 = 3 > 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 4}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.$. Đặt \[T = \frac{A}{B}\].

Nhận xét: Vì tích ${x_1}{x_2} = 1 > 0$ và tổng ${x_1} + {x_2} = - 4 < 0$ nên cả hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ đều là số âm.

Với \[{x_1} > {x_2}\] thì ${x_1} - {x_2} = \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 $.

Mẫu số: Vì \[{x_1}\] là nghiệm của phương trình nên $x_1^2 = - 4{x_1} - 1$

\[ \Rightarrow \]$x_1^3 = {x_1}( - 4{x_1} - 1) = - 4x_1^2 - {x_1} = - 4( - 4{x_1} - 1) - {x_1} = 15{x_1} + 4$

\[ \Rightarrow \]$B = (15{x_1} + 4) + 15{x_2} + 64 = 15({x_1} + {x_2}) + 68 = 15( - 4) + 68 = 8$

Tử số: Ta thay $ - 4{x_1} = x_1^2 + 1$ \[ \Rightarrow \] $ - 4{x_1} + 7 = (x_1^2 + 1) + 7 = x_1^2 + 8$

\[ \Rightarrow \]$\sqrt {16x_2^2 - 4{x_1} + 7} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{({x_1} + 4{x_2})}^2}} = |{x_1} + 4{x_2}|$

Vì ${x_1},{x_2} < 0$ nên $|{x_1} + 4{x_2}| = - {x_1} - 4{x_2}$

$ \Rightarrow A = ( - {x_1} - 4{x_2}) + 10{x_1} + 5{x_2} + 20 = 9{x_1} + {x_2} + 20$$ = 4{x_1} - 4{x_2} = 4({x_1} - {x_2})$

Vậy: $T = \frac{A}{B} = \frac{{4({x_1} - {x_2})}}{8} = \frac{{4.2\sqrt 3 }}{8} = \sqrt 3 $

Câu 6/12

Nhân kỉ niệm Ngày Di sản văn hóa Việt Nam (23/11), Bảo tàng Đà Nẵng đã tổ chức Ngày hội Di sản văn hóa 2025. Ban tổ chức trưng bày 3 hiện vật quý hiếm gồm: Trống đồng, Mộc bản và Gốm Chu Đậu được đặt đúng theo thứ tự trên vào 3 tủ kính 1,2,3. Do sơ suất sắp đặt, nhân viên đã đặt ngẫu nhiên mỗi hiện vật vào một tủ kính.

(a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của việc sắp đặt trên?

(b) Tính xác suất biến cố: "Có đúng $1$ hiện vật được đặt đúng tủ kính".

Lời giải

a) Kí hiệu Trống đồng, Mộc bản và Gốm Chu Đậu lần lượt là T, M, G

Không gian mẫu: $\Omega = \{ (T,M,G);(T,G,M);(M,T,G);(M,G,T);(G,T,M);(G,M,T)\} $

b) Biến cố $A$: "Có đúng $1$ hiện vật được đặt đúng tủ".

Theo yêu cầu bài toán: Tủ $1$ đúng nếu chứa $T$, Tủ $2$ đúng nếu chứa $M$, Tủ $3$ đúng nếu chứa $G$.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:

$(T,G,M)$: Chỉ hiện vật $T$ ở tủ $1$ là đúng $ \to $ Thỏa mãn.

$(G,M,T)$: Chỉ hiện vật $M$ ở tủ $2$ là đúng $ \to $ Thỏa mãn.

$(M,T,G)$: Chỉ hiện vật $G$ ở tủ $3$ là đúng $ \to $ Thỏa mãn.

$A = \{ (T,G,M);(G,M,T);(M,T,G)\} $

Số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 3$. Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{3}{6} = 0,5$.

Câu 7/12