Cho phương trình \({x^2} + 4x + 1 = 0\). Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và tính giá trị của biểu thức\(T = \frac{{\sqrt {16x_2^2 - 4{x_1} + 7} + 10{x_1} + 5{x_2} + 20}}{{x_1^3 + 15{x_2} + 64}}\) với \[{x_1} > {x_2}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(\Delta ' = {2^2} - 1 \cdot 1 = 3 > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 4}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.\). Đặt \[T = \frac{A}{B}\].
Nhận xét: Vì tích \({x_1}{x_2} = 1 > 0\) và tổng \({x_1} + {x_2} = - 4 < 0\) nên cả hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều là số âm.
Với \[{x_1} > {x_2}\] thì \({x_1} - {x_2} = \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Mẫu số: Vì \[{x_1}\] là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 = - 4{x_1} - 1\)
\[ \Rightarrow \]\(x_1^3 = {x_1}( - 4{x_1} - 1) = - 4x_1^2 - {x_1} = - 4( - 4{x_1} - 1) - {x_1} = 15{x_1} + 4\)
\[ \Rightarrow \]\(B = (15{x_1} + 4) + 15{x_2} + 64 = 15({x_1} + {x_2}) + 68 = 15( - 4) + 68 = 8\)
Tử số: Ta thay \( - 4{x_1} = x_1^2 + 1\) \[ \Rightarrow \] \( - 4{x_1} + 7 = (x_1^2 + 1) + 7 = x_1^2 + 8\)
\[ \Rightarrow \]\(\sqrt {16x_2^2 - 4{x_1} + 7} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{({x_1} + 4{x_2})}^2}} = |{x_1} + 4{x_2}|\)
Vì \({x_1},{x_2} < 0\) nên \(|{x_1} + 4{x_2}| = - {x_1} - 4{x_2}\)
\( \Rightarrow A = ( - {x_1} - 4{x_2}) + 10{x_1} + 5{x_2} + 20 = 9{x_1} + {x_2} + 20\)\( = 4{x_1} - 4{x_2} = 4({x_1} - {x_2})\)
Vậy: \(T = \frac{A}{B} = \frac{{4({x_1} - {x_2})}}{8} = \frac{{4.2\sqrt 3 }}{8} = \sqrt 3 \)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đổi: 1 phút 40 giây = 100 giây \( = \frac{{100}}{{3600}}\) giờ \( = \frac{1}{{36}}\) giờ.
Gọi \(x\) (\(km/h\)) là vận tốc của VĐV Vũ Khánh Linh trong chặng cuối (\(x > 0,5\)).
Vận tốc của VĐV Yukiko Nomoto trong chặng cuối là: \(x - 0,5\) (\(km/h\)).
Quãng đường bứt tốc cho đến đích: \[42 - 31,5 = 10,5\]km
Thời gian Linh đi hết \(10,5km\) cuối là: \(\frac{{10,5}}{x}\) (giờ).
Thời gian Yukiko đi hết \(10,5km\) cuối là: \(\frac{{10,5}}{{x - 0,5}}\) (giờ).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{{10,5}}{{x - 0,5}} - \frac{{10,5}}{x} = \frac{1}{{36}}\)
Biến đổi phương trình trên ta được: \(2{x^2} - x - 378 = 0\)
Giải phương trình trên ta được: \({x_1} = 14\) (Thỏa mãn); \({x_2} = - 13,5\) (Loại).
Kết luận: Vận tốc của Vũ Khánh Linh là \(14km/h\) và của Yukiko Nomoto là \(13,5km/h\)
trong chặng cuối
Lời giải
Gọi \(x\) là số tuần Mai cần tiết kiệm thêm (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)).
Số tiền Mai tiết kiệm thêm sau \(x\) tuần là: \(50x\) (nghìn đồng).
Tổng số tiền Mai có sau \(x\) tuần là: \(300 + 50x\) (nghìn đồng).
Để có đủ tiền mua máy tính, ta có bất phương trình: \(300 + 50x \ge 750\)
Giải bất phương trình: \(50x \ge 750 - 300\)
\(50x \ge 450\)
\(x \ge 9\)
Đổi: 9 tuần = 63 ngày
Vậy bạn Mai cần tiết kiệm thêm ít nhất 63 ngày nữa thì đủ tiền mua máy tính.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập