Nhân kỉ niệm Ngày Di sản văn hóa Việt Nam (23/11), Bảo tàng Đà Nẵng đã tổ chức Ngày hội Di sản văn hóa 2025. Ban tổ chức trưng bày 3 hiện vật quý hiếm gồm: Trống đồng, Mộc bản và Gốm Chu Đậu được đặt đúng theo thứ tự trên vào 3 tủ kính 1,2,3. Do sơ suất sắp đặt, nhân viên đã đặt ngẫu nhiên mỗi hiện vật vào một tủ kính.

(a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của việc sắp đặt trên?

(b) Tính xác suất biến cố: "Có đúng \(1\) hiện vật được đặt đúng tủ kính".

\(\Delta ' = {2^2} - 1 \cdot 1 = 3 > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 4}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.\). Đặt \[T = \frac{A}{B}\].

Nhận xét: Vì tích \({x_1}{x_2} = 1 > 0\) và tổng \({x_1} + {x_2} = - 4 < 0\) nên cả hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều là số âm.

Với \[{x_1} > {x_2}\] thì \({x_1} - {x_2} = \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).

Mẫu số: Vì \[{x_1}\] là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 = - 4{x_1} - 1\)

\[ \Rightarrow \]\(x_1^3 = {x_1}( - 4{x_1} - 1) = - 4x_1^2 - {x_1} = - 4( - 4{x_1} - 1) - {x_1} = 15{x_1} + 4\)

\[ \Rightarrow \]\(B = (15{x_1} + 4) + 15{x_2} + 64 = 15({x_1} + {x_2}) + 68 = 15( - 4) + 68 = 8\)

Tử số: Ta thay \( - 4{x_1} = x_1^2 + 1\) \[ \Rightarrow \] \( - 4{x_1} + 7 = (x_1^2 + 1) + 7 = x_1^2 + 8\)

\[ \Rightarrow \]\(\sqrt {16x_2^2 - 4{x_1} + 7} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8} = \sqrt {16x_2^2 + x_1^2 + 8{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{({x_1} + 4{x_2})}^2}} = |{x_1} + 4{x_2}|\)

Vì \({x_1},{x_2} < 0\) nên \(|{x_1} + 4{x_2}| = - {x_1} - 4{x_2}\)

\( \Rightarrow A = ( - {x_1} - 4{x_2}) + 10{x_1} + 5{x_2} + 20 = 9{x_1} + {x_2} + 20\)\( = 4{x_1} - 4{x_2} = 4({x_1} - {x_2})\)

Vậy: \(T = \frac{A}{B} = \frac{{4({x_1} - {x_2})}}{8} = \frac{{4.2\sqrt 3 }}{8} = \sqrt 3 \)

Đổi: 1 phút 40 giây = 100 giây \( = \frac{{100}}{{3600}}\) giờ \( = \frac{1}{{36}}\) giờ.

Gọi \(x\) (\(km/h\)) là vận tốc của VĐV Vũ Khánh Linh trong chặng cuối (\(x > 0,5\)).

Vận tốc của VĐV Yukiko Nomoto trong chặng cuối là: \(x - 0,5\) (\(km/h\)).

Quãng đường bứt tốc cho đến đích: \[42 - 31,5 = 10,5\]km

Thời gian Linh đi hết \(10,5km\) cuối là: \(\frac{{10,5}}{x}\) (giờ).

Thời gian Yukiko đi hết \(10,5km\) cuối là: \(\frac{{10,5}}{{x - 0,5}}\) (giờ).

Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{{10,5}}{{x - 0,5}} - \frac{{10,5}}{x} = \frac{1}{{36}}\)

Biến đổi phương trình trên ta được: \(2{x^2} - x - 378 = 0\)

Giải phương trình trên ta được: \({x_1} = 14\) (Thỏa mãn); \({x_2} = - 13,5\) (Loại).

Kết luận: Vận tốc của Vũ Khánh Linh là \(14km/h\) và của Yukiko Nomoto là \(13,5km/h\)

trong chặng cuối