Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Ninh Bình có đáp án
55 người thi tuần này 4.6 655 lượt thi 5 câu hỏi 45 phút
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Dành cho bạn Hot Vào phòng luyện đề →
Danh sách câu hỏi:
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a)* P = \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) + b\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\)
= \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + a\sqrt b + b\sqrt a + b\sqrt b }}{{a - b}}\)
= \(\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\) = \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }}\) .
* (1 – a)(1 – b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1 \( \Leftrightarrow \) 1 – b – a + ab + 2\(\sqrt {ab} \) = 1
\( \Leftrightarrow \) a - 2\(\sqrt {ab} \) + b = ab \( \Leftrightarrow \) \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}\)= \({\left( {\sqrt {ab} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a - \sqrt b = \sqrt {ab} \;(khi\;a > b)}\\{\sqrt a - \sqrt b = - \sqrt {ab} \;(khi\;a < b)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = 1}\\{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = - 1}\end{array}} \right.\)
* Vậy P =1 (khi a > b) hoặc P = -1 (khi a < b)
b)Vì a, b, c là 3 nghiệm của f(x) nên ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 23a + 24 = 0}\\{{b^3} - 23b + 24 = 0}\\{{c^3} - 23c + 24 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} = 23a - 24}\\{{b^3} = 23b - 24}\\{{c^3} = 23c - 24}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Q = 23(a + b + c) – 72
Theo Viet: a + b + c = 0
Do đó Q = -72
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a)ĐK: -7\(\; \le \;\)x\(\; \le \) 6
Với đk trên thì \(\sqrt {x + 23} + \sqrt {x + 7} \) \( \ne \) 0
Do đó (*)\(\; \Leftrightarrow \) 16\(\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = 8\(\left( {\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \) 2\(\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = \(\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} \)
\( \Leftrightarrow \) \(\sqrt {x + 23} \) – 5 +\(\;\sqrt {x + 7} \) – 3 + 2\(\left( {2 - \sqrt {6 - x} } \right)\) = 0
\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x\; - \;2}}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}}\) + \(\frac{{x\; - \;2}}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}}\) + 2.\(\;\frac{{x\; - \;2}}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}\) = 0
\(\;\; \Leftrightarrow \) (x – 2)\(\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}} + \frac{2}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}} \right)\) = 0
\(\;\; \Leftrightarrow \) x – 2 = 0 ( do \(\frac{1}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}} + \frac{2}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}\) \( > \) 0)
\(\;\; \Leftrightarrow \) x = 2 (t/m đk)
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
b)ĐK: x\(\; \ne \;\)0 ; y\(\; \ne \;\)0
Đặt a = \(x + \frac{1}{y}\) , b = \(y + \frac{1}{x}\)
HPT đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = \frac{9}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\frac{9}{4} + \frac{3}{2}a = ab\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1): b = \(\frac{9}{2} - a\). Thay vào (2):
\(\frac{9}{4} + \frac{3}{2}a\) = a\(\left( {\frac{9}{2} - a} \right)\) \( \Leftrightarrow \) 9 + 6a = 2a (9 – 2a)
\( \Leftrightarrow \) 4a2 – 12a + 9 = 0 \( \Leftrightarrow \;{\left( {2a - 3} \right)^2}\) = 0
\( \Leftrightarrow \) 2a – 3 = 0 \( \Leftrightarrow \;\)a = \(\frac{3}{2}\) \( \Rightarrow \) b = 3
Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}}\\{y + \frac{1}{x} = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy + 2 = 3y\;\;\;\;\left( 3 \right)}\\{xy + 1 = 3x\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) y = 2x. Thay vào (4):
2x2 – 3x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
x = 1 \( \to \) y = 2
x = \(\frac{1}{2}\) \( \to \) y = 1 (t/m đk)
Vậy (x;y) \(\left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {\frac{1}{2};1} \right)} \right\}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt {{b^3} + 1} \) = \(\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} - b + 1} \right)} \) \( \le \) \(\frac{{b + 1 + \;{b^2} - b + 1}}{2} = \) \(\frac{{{b^2} + \;2}}{2}\)
T2: \(\sqrt {{c^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{c^2} + \;2}}{2}\) ; \(\sqrt {{a^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{a^2} + \;2}}{2}\)
Do đó VT \( \ge \) \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\)
Ta cần CM: S = \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\) \( \ge \) 2
Ta có: \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{a\left( {{b^2} + 2} \right) - a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = a - \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\)
Lại có : \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{2a{b^2}}}{{{b^2} + {b^2} + \;4}}\) \( \le \) \(\frac{{2a{b^2}}}{{{3^3}\sqrt {{b^4}.\;\;4} }}\) = \(\frac{{{a^3}\sqrt {2{b^2}} }}{3}\) \( \le \) \(\frac{{a.\left( {2 + b + b} \right)}}{9}\) = \(\frac{{2a.\left( {b + 1} \right)}}{9}\)
T2 ta được S \( \ge \) a + b + c - \(\frac{{2.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\) = \(\frac{{7.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\)
Ta có ab + bc + ca \( \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\)
Do đó S \( \ge \) \(\frac{{7\;.\;6}}{9}\) - \(\frac{2}{9}\) . \(\frac{{{6^2}}}{9}\) = 2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Ta có đpcm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180\(^\circ \) nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180\(^\circ \) (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180\(^\circ \). Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90\(^\circ \)-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:
4k + 1 hoặc 4k + 3
Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.
b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2
\( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23
Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1
=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)
Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn
Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập