a) Giải phương trình \(\left( {\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} } \right)\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = 8
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \;\frac{1}{x} + \;\frac{1}{y} = \frac{9}{2}}\\{\frac{9}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)}\end{array}} \right.\)
a) Giải phương trình \(\left( {\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} } \right)\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = 8
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \;\frac{1}{x} + \;\frac{1}{y} = \frac{9}{2}}\\{\frac{9}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)}\end{array}} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)ĐK: -7\(\; \le \;\)x\(\; \le \) 6
Với đk trên thì \(\sqrt {x + 23} + \sqrt {x + 7} \) \( \ne \) 0
Do đó (*)\(\; \Leftrightarrow \) 16\(\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = 8\(\left( {\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \) 2\(\left( {\sqrt {6 - x} + 2} \right)\) = \(\sqrt {x + 23} - \;\sqrt {x + 7} \)
\( \Leftrightarrow \) \(\sqrt {x + 23} \) – 5 +\(\;\sqrt {x + 7} \) – 3 + 2\(\left( {2 - \sqrt {6 - x} } \right)\) = 0
\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x\; - \;2}}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}}\) + \(\frac{{x\; - \;2}}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}}\) + 2.\(\;\frac{{x\; - \;2}}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}\) = 0
\(\;\; \Leftrightarrow \) (x – 2)\(\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}} + \frac{2}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}} \right)\) = 0
\(\;\; \Leftrightarrow \) x – 2 = 0 ( do \(\frac{1}{{\sqrt {x + 23} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}5{\rm{\;}}}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}}}} + \frac{2}{{\left( {2\; + \;\sqrt {6 - x} } \right){\rm{\;}}}}\) \( > \) 0)
\(\;\; \Leftrightarrow \) x = 2 (t/m đk)
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
b)ĐK: x\(\; \ne \;\)0 ; y\(\; \ne \;\)0
Đặt a = \(x + \frac{1}{y}\) , b = \(y + \frac{1}{x}\)
HPT đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = \frac{9}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\frac{9}{4} + \frac{3}{2}a = ab\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1): b = \(\frac{9}{2} - a\). Thay vào (2):
\(\frac{9}{4} + \frac{3}{2}a\) = a\(\left( {\frac{9}{2} - a} \right)\) \( \Leftrightarrow \) 9 + 6a = 2a (9 – 2a)
\( \Leftrightarrow \) 4a2 – 12a + 9 = 0 \( \Leftrightarrow \;{\left( {2a - 3} \right)^2}\) = 0
\( \Leftrightarrow \) 2a – 3 = 0 \( \Leftrightarrow \;\)a = \(\frac{3}{2}\) \( \Rightarrow \) b = 3
Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}}\\{y + \frac{1}{x} = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy + 2 = 3y\;\;\;\;\left( 3 \right)}\\{xy + 1 = 3x\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) y = 2x. Thay vào (4):
2x2 – 3x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
x = 1 \( \to \) y = 2
x = \(\frac{1}{2}\) \( \to \) y = 1 (t/m đk)
Vậy (x;y) \(\left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {\frac{1}{2};1} \right)} \right\}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180\(^\circ \) nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180\(^\circ \) (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180\(^\circ \). Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90\(^\circ \)-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Lời giải
a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:
4k + 1 hoặc 4k + 3
Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.
b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2
\( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23
Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1
=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)
Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn
Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập