Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh
\(\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }}\; \ge 2\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh
\(\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }}\; \ge 2\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt {{b^3} + 1} \) = \(\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} - b + 1} \right)} \) \( \le \) \(\frac{{b + 1 + \;{b^2} - b + 1}}{2} = \) \(\frac{{{b^2} + \;2}}{2}\)
T2: \(\sqrt {{c^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{c^2} + \;2}}{2}\) ; \(\sqrt {{a^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{a^2} + \;2}}{2}\)
Do đó VT \( \ge \) \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\)
Ta cần CM: S = \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\) \( \ge \) 2
Ta có: \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{a\left( {{b^2} + 2} \right) - a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = a - \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\)
Lại có : \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{2a{b^2}}}{{{b^2} + {b^2} + \;4}}\) \( \le \) \(\frac{{2a{b^2}}}{{{3^3}\sqrt {{b^4}.\;\;4} }}\) = \(\frac{{{a^3}\sqrt {2{b^2}} }}{3}\) \( \le \) \(\frac{{a.\left( {2 + b + b} \right)}}{9}\) = \(\frac{{2a.\left( {b + 1} \right)}}{9}\)
T2 ta được S \( \ge \) a + b + c - \(\frac{{2.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\) = \(\frac{{7.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\)
Ta có ab + bc + ca \( \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\)
Do đó S \( \ge \) \(\frac{{7\;.\;6}}{9}\) - \(\frac{2}{9}\) . \(\frac{{{6^2}}}{9}\) = 2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Ta có đpcm.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180\(^\circ \) nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180\(^\circ \) (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180\(^\circ \). Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90\(^\circ \)-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Lời giải
a)* P = \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) + b\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\)
= \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + a\sqrt b + b\sqrt a + b\sqrt b }}{{a - b}}\)
= \(\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\) = \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }}\) .
* (1 – a)(1 – b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1 \( \Leftrightarrow \) 1 – b – a + ab + 2\(\sqrt {ab} \) = 1
\( \Leftrightarrow \) a - 2\(\sqrt {ab} \) + b = ab \( \Leftrightarrow \) \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}\)= \({\left( {\sqrt {ab} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a - \sqrt b = \sqrt {ab} \;(khi\;a > b)}\\{\sqrt a - \sqrt b = - \sqrt {ab} \;(khi\;a < b)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = 1}\\{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = - 1}\end{array}} \right.\)
* Vậy P =1 (khi a > b) hoặc P = -1 (khi a < b)
b)Vì a, b, c là 3 nghiệm của f(x) nên ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 23a + 24 = 0}\\{{b^3} - 23b + 24 = 0}\\{{c^3} - 23c + 24 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} = 23a - 24}\\{{b^3} = 23b - 24}\\{{c^3} = 23c - 24}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Q = 23(a + b + c) – 72
Theo Viet: a + b + c = 0
Do đó Q = -72
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập