Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh
\(\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }}\; \ge 2\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh
\(\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }}\; \ge 2\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt {{b^3} + 1} \) = \(\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} - b + 1} \right)} \) \( \le \) \(\frac{{b + 1 + \;{b^2} - b + 1}}{2} = \) \(\frac{{{b^2} + \;2}}{2}\)
T2: \(\sqrt {{c^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{c^2} + \;2}}{2}\) ; \(\sqrt {{a^3} + 1} \) \( \le \) \(\frac{{{a^2} + \;2}}{2}\)
Do đó VT \( \ge \) \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\)
Ta cần CM: S = \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2b}}{{{c^2} + \;2}}\) + \(\frac{{2c}}{{{a^2} + \;2}}\) \( \ge \) 2
Ta có: \(\frac{{2a}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{a\left( {{b^2} + 2} \right) - a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = a - \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\)
Lại có : \(\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + \;2}}\) = \(\frac{{2a{b^2}}}{{{b^2} + {b^2} + \;4}}\) \( \le \) \(\frac{{2a{b^2}}}{{{3^3}\sqrt {{b^4}.\;\;4} }}\) = \(\frac{{{a^3}\sqrt {2{b^2}} }}{3}\) \( \le \) \(\frac{{a.\left( {2 + b + b} \right)}}{9}\) = \(\frac{{2a.\left( {b + 1} \right)}}{9}\)
T2 ta được S \( \ge \) a + b + c - \(\frac{{2.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\) = \(\frac{{7.\left( {a + b + c} \right)}}{9}\) - \(\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9}\)
Ta có ab + bc + ca \( \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\)
Do đó S \( \ge \) \(\frac{{7\;.\;6}}{9}\) - \(\frac{2}{9}\) . \(\frac{{{6^2}}}{9}\) = 2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Ta có đpcm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180\(^\circ \) nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180\(^\circ \) (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180\(^\circ \). Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90\(^\circ \)-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:
4k + 1 hoặc 4k + 3
Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.
b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2
\( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23
Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1
=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)
Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn
Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập