a) Cho a, b là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 − b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1. Tính giá trị của biểu thức
P = \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b }}{{a - b}}\) - \(\frac{a}{{\sqrt a \; + \;\sqrt b }}\) + \(\frac{b}{{\sqrt a - \;\sqrt b }}\)
b) Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c. Tính giá trị của biểu thức
Q = a³ + b³ + c³.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)* P = \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) + b\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\)
= \(\frac{{a\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + a\sqrt b + b\sqrt a + b\sqrt b }}{{a - b}}\)
= \(\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\) = \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }}\) .
* (1 – a)(1 – b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1 \( \Leftrightarrow \) 1 – b – a + ab + 2\(\sqrt {ab} \) = 1
\( \Leftrightarrow \) a - 2\(\sqrt {ab} \) + b = ab \( \Leftrightarrow \) \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}\)= \({\left( {\sqrt {ab} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a - \sqrt b = \sqrt {ab} \;(khi\;a > b)}\\{\sqrt a - \sqrt b = - \sqrt {ab} \;(khi\;a < b)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = 1}\\{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = - 1}\end{array}} \right.\)
* Vậy P =1 (khi a > b) hoặc P = -1 (khi a < b)
b)Vì a, b, c là 3 nghiệm của f(x) nên ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 23a + 24 = 0}\\{{b^3} - 23b + 24 = 0}\\{{c^3} - 23c + 24 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} = 23a - 24}\\{{b^3} = 23b - 24}\\{{c^3} = 23c - 24}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Q = 23(a + b + c) – 72
Theo Viet: a + b + c = 0
Do đó Q = -72
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180\(^\circ \) nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180\(^\circ \) (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180\(^\circ \). Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90\(^\circ \)-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Lời giải
a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:
4k + 1 hoặc 4k + 3
Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.
b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2
\( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23
Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)
=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1
=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)
Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn
Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập