Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F điểm đối xứng của C qua AB. Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại H.

a) Chứng minh các tứ giác AHBF và AHCE là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Chứng minh F,B,D thẳng hàng và DA là tia phân giác của góc EDF.

c) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, ACF. Chứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm I và giao điểm (khác D) của đường thẳng AD với đường tròn (I) là trực tâm tam giác APQ.

d) Giả sử H thuộc đường tròn (I). Chứng minh các đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy.

a)*  P = \(\frac{{a\sqrt a  - b\sqrt b  - a\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right) + b\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\)

       = \(\frac{{a\sqrt a  - b\sqrt b  - a\sqrt a  + a\sqrt b  + b\sqrt a  + b\sqrt b }}{{a - b}}\)

       = \(\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\) = \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }}\) .

*  (1 – a)(1 – b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1 \( \Leftrightarrow \) 1 – b – a + ab + 2\(\sqrt {ab} \) = 1

\( \Leftrightarrow \) a - 2\(\sqrt {ab} \) + b = ab \( \Leftrightarrow \) \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2}\)= \({\left( {\sqrt {ab} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a  - \sqrt b  = \sqrt {ab} \;(khi\;a > b)}\\{\sqrt a  - \sqrt b  =  - \sqrt {ab} \;(khi\;a < b)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} = 1}\\{\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \; - \;\sqrt b }} =  - 1}\end{array}} \right.\)

* Vậy P =1 (khi a > b) hoặc P = -1 (khi a < b)

a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:

              4k + 1  hoặc  4k + 3

Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.

b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2

                             \( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23

Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)

=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)

=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1

=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)

Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn

Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.