Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4)

Thi Online Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4)

Đề số 1

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4)

79 lượt thi
8 câu hỏi
60 phút

Câu 1:

Cho các biểu thức:

$A = 3 \sqrt{3} - \sqrt{50} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}$ ;

$B = (\frac{3 \sqrt{x} + 6}{x - 4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9.$

1) Rút gọn biểu thức A và B

2) Tìm x sao cho A - 2B = 3

a) $A = 3 \sqrt{3} - \sqrt{50} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = 6 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - |\sqrt{2} - 1|$ $= \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 1$ (vì $\sqrt{2} - 1 > 0) .$

Với $x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9,$ ta có:

$B = (\frac{3 \sqrt{x} + 6}{x - 4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} = [\frac{3 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}] : \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3} = (\frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}) : (\sqrt{x} + 3) = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

b) Để $A - 2 B = 3$ thì $1 - \frac{2}{\sqrt{x} - 2} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 - 2 = 3 \sqrt{x} - 6$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy x = 1 thì A - 2B = 3

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 (x - 3) + 3 (3 x + y) = - 11 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} .$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 (x - 3) + 3 (3 x + y) = - 11 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 (x - 3) + 6 (3 x + y) = - 22 \\ 3 (x - 3) - 6 (3 x + y) = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 (x - 3) = - 7 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 = - 1 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 = - 1 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ (2 - 3) - 2 (3 \cdot 2 + y) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 6 + y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 9 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

(x; y) = (2; - 9)

Câu 3:

Một quyển vở giá 14 000 đồng, một hộp bút giá 30 000 đồng. Minh muốn mua một hộp bút và một số quyển vở.

a) Gọi $x (x \in ℕ *)$ là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyển vở và một hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x

b) Nếu Minh có 300 000 đồng để mua vở và một hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Xem đáp án

a) Số tiền cần phải trả khi mua x quyển vở là: $14 000 x$ (đồng).

Số tiền y cần trả khi mua x quyển vở và một hộp bút là $y = 14 000 x + 30 000$ (đồng).

b) Theo đề bài, ta có: $14 000 x + 30 000 \leq 300 000$

$\Leftrightarrow 14 000 x \leq 270 000 \Leftrightarrow x \leq \frac{135}{7} \approx 19, 29$

Vậy bạn Minh mua tối đa được 19 quyển vở.

Câu 4:

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 9 = 0$ (1) x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10.$

Xem đáp án

a) Với $m = - 3$ phương trình (1) có dạng:

$x^{2} + 8 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 8) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 8 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 8 \end{array}$

Vậy khi $m = - 3,$ phương trình có nghiệm là $x = 0; x = - 8.$

b) Ta có $Δ^{'} = {[- (m - 1)]}^{2} - m^{2} + 9 = m^{2} - 2 m + 1 - m^{2} + 9 = - 2 m + 10$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ khi và chỉ khi $Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow - 2 m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 5.$

Theo định lí Vi-et, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) (2) \\ x_{1} x_{2} = m^{2} - 9 (3) \end{cases}$

Theo đề bài, ta có: $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10$ , kết hợp với (2) ta được: $x_{1} = 2 m - 6; x_{2} = 4$ .

Thay $x_{1} = 2 m - 6; x_{2} = 4$ vào (3) ta được:

$(2 m - 6) 4 = m^{2} - 9 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn) hoặc m = 5 (loại).

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10.$

Câu 5:

Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi 100 m Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn đó bằng cách tăng chiều dài thêm 5 m và chiều rộng thêm 4 m khi đó diện tích tăng thêm 240 m² . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trước khi mở rộng.

Xem đáp án

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn ban đầu lần lượt là $x (m), y (m) (0 < y < x < 50) .$

Diện tích mảnh vườn ban đầu là xy (m2).

Vì chu vi của mảnh vườn ban đầu là 100 m nên ta có phương trình:

$2 (x + y) = 100 \Leftrightarrow x + y = 50 (1)$

Chiều dài của mảnh vườn sau khi mở rộng là: $(x + 5) (m)$

Chiều rộng của mảnh vườn sau khi mở rộng là: $(y + 4) (m)$

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là: $(x + 5) (y + 4)$ (m2).

Do diện tích mảnh vườn đã tăng thêm $240 m^{2}$ nên ta có phương trình

$(x + 5) (y + 4) - x y = 240 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 50 \\ (x + 5) (y + 4) - x y = 240 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 50 \\ x y + 4 x + 5 y + 20 - x y = 240 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 50 \\ 4 x + 5 y = 220 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x + 4 y = 200 \\ 4 x + 5 y = 220 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 50 \\ y = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 30 \\ y = 20 \end{cases}$ (thỏa mãn)