Một chi tiết máy gồm một phân có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như vẽ. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là 37,68 m. Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy $\pi \approx 3,14;$ kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

a) Xét đường tròn (O) có:

• DE là dây không đi qua tâm O và I là trung điểm của DE

Suy ra $OI\perp DE$ tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) nên $\widehat{AIO}=90°.$

• AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $AB\perp OB,AC\perp OC$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°.$ Do đó $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=\widehat{AIO}=90°.$

Vậy năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO

b) Xét đường tròn (O;R) có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $OB=OC=R$ nên OA là đường trung trực của BC

Do đó $OA\perp BC$ tại H hay $\widehat{AHK}=90°.$

Xét $\Delta AHK$ và $\Delta AIO$ có: $\widehat{AHK}=\widehat{AIO}=90°$ và $\widehat{HAK}$ là góc chung

Do đó $\Delta AHK\backsim \Delta AIO\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g).}$ Suy ra $\frac{AH}{AI}=\frac{AK}{AO}$ hay $AK\cdot AI=AH\cdot AO.$

Ta có BD // AC nên $\widehat{BDE}=\widehat{FAE}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{BDE}=\widehat{FBA}$ (cùng chắn $\stackrel{⏜}{EB}$ của $\left(O;R\right))$ nên $\widehat{FAE}=\widehat{FBA}.$

Xét $\Delta AFE$ và $\Delta BFA$ có: $\widehat{AFE}$ là góc chung và $\widehat{FAE}=\widehat{FBA}.$

Do đó $\Delta AFE\backsim \Delta BFA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g).}$

c) Ta có $\Delta AFE\backsim \Delta BFA$ (câu b) suy ra $\frac{FE}{FA}=\frac{FA}{FB}$ hay $F{A}^2=FB\cdot FE.\left(1\right)$

Xét $\Delta FEC$ và $\Delta FCB$ có: $\widehat{EFC}$ là góc chung và $\widehat{FCE}=\widehat{FBC}$ (cùng chắn $\stackrel{⏜}{EC}$ của $\left(O;R\right))$

Do đó $\Delta FEC\backsim \Delta FCB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g).}$ Suy ra $\frac{FE}{FC}=\frac{FC}{FB}$ hay $F{C}^2=FB\cdot FE.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $F{A}^2=F{C}^2$ nên FA = FC. Do đó F là trung điểm của đoạn thẳng AC

Gọi G là giao điểm của FK và BD

Ta có BG // FC suy ra $\frac{BG}{FC}=\frac{KG}{KF}$ (hệ quả định lí Thalès);

DG // AF suy ra $\frac{DG}{AF}=\frac{KG}{KF}$ (hệ quả định lí Thalès).

Suy ra $\frac{BG}{FC}=\frac{DG}{AF}$ mà AF = CF nên BG = DG. Do đó G là trung điểm của BD

Kéo dài AB cắt D tại J. Gọi G' là giao điểm của JF và BD.

• Xét $\Delta JAF$ có BG' // AF nên ta có:  $\frac{B{G}^{\text{'}}}{AF}=\frac{J{G}^{\text{'}}}{JF}$ (hệ quả định lí Thalès);

• Xét $\Delta JFC$ có DG' // CF nên ta có:  $\frac{D{G}^{\text{'}}}{CF}=\frac{J{G}^{\text{'}}}{JF}$ (hệ quả định lí Thalès).

Do đó $\frac{B{G}^{\text{'}}}{AF}=\frac{D{G}^{\text{'}}}{CF}$ mà AF = CF nên BG' = DG'

Khi đó G' là trung điểm của BD nên $G^{\text{'}}\equiv G.$

Do đó ba điểm F, K, J thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.